Analysis of Structures

Statics dersinde yapısal analiz konusuna başlıyoruz. Şimdiye kadar parçacık ve katı cisimlerin dengesini 2 ve 3 boyutlu olarak inceledik. Artık tüm araçlarımız hazır; şimdi yapısal analizde truss sistemlerini inceleyeceğiz.

Truss Sistemleri ve Two-Force Member'lar

Truss nedir? Truss sistemleri, sadece iki uca sahip olan ve bu uçlardan yüklenen elemanlardan oluşur. Bu elemanlara Two-Force Member (İki Kuvvetli Eleman) denir. Temel olarak, her bir çubuk ya çekme (tension) ya da basma (compression) kuvveti taşır.

Çekme (Tension): Çubuk iki ucundan çekilerek sündürülmeye çalışılır. Kuvvetler çubuğun uçlarından dışa doğru etki eder.
Basma (Compression): Çubuk iki ucundan sıkıştırılmaya çalışılır. Kuvvetler çubuğun uçlarından içe doğru etki eder.

Two-Force Member'larda başka bir yükleme şekli olamaz. Bu nedenle truss sistemlerini analiz ederken, çubukların ya çekme altında ya da basma altında olduğunu varsayarız.

Truss Sisteminin Assumption'ları

Truss sistemlerini analiz ederken iki önemli varsayım yaparız:

Kuvvetler Sadece Joint'lere Etki Eder: Dış yükler sadece çubukların birleşim noktalarına (joint'lere) uygulanır. Çubukların orta noktalarına doğrudan yük uygulanmaz. Bu, çubukların sadece iki ucu tarafından yüklendiği ve dolayısıyla two-force member olarak kalmasını sağlar.
Çubuklar Smooth Pin'lerle Bağlanmıştır: Tüm çubuklar birbirine sürtünmesiz pimlerle (smooth pins) bağlanmıştır. Bu da çubuklar arasında moment aktarımını engeller ve sadece kuvvetlerin iletilmesini sağlar.

Truss Sisteminde Kuvvet Analizi

Bir mühendis olarak amacımız, truss sistemindeki her bir çubuğun ne kadar kuvvet taşıdığını bulmaktır. Bu, yapının güvenliği ve tasarımı için kritik öneme sahiptir.

Çubukların üzerindeki kuvvetleri belirlemek için iki temel yöntem kullanırız:

Method of Joints (Joint'ler Metodu): Her bir joint için denge denklemleri yazarız. Bu yöntemde parçacık (particle) dengesini kullanırız. Tüm çubukların kuvvetlerini bulmak istediğimizde bu yöntem daha uygundur.
Method of Sections (Kesitler Metodu): Yapıyı belirli bir noktadan keserek bir kesit alırız ve bu kesit için denge denklemleri yazarız. Bu yöntemde katı cisim (rigid body) dengesini kullanırız. Sadece belirli çubukların kuvvetlerini bulmak istediğimizde bu yöntem kullanışlıdır.

Method of Joints'in Uygulanması

Adım 1: Destek Tepkilerinin Hesaplanması

İlk adım olarak, truss sisteminin destek noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulmalıyız. Sistemin tümünü bir katı cisim olarak ele alırız ve desteklerdeki kuvvetleri hesaplarız.

Örnek:

Destekler: E noktasında bir pim (pin), A noktasında bir makaralı destek (roller) olsun.
Yükler: Sisteme uygulanan dış kuvvetler $650\, \text{N}$ ve $400\, \text{N}$ olsun.

Destek reaksiyonlarını bulmak için, toplam kuvvet ve moment denklemlerini kullanırız:

Toplam $F_x = 0$ denklemi ile $E_x$ bulunur.
Toplam moment denklemi (örneğin D noktasına göre) ile $A_y$ bulunur.
Toplam $F_y = 0$ denklemi ile $E_y$ bulunur.

Adım 2: Zero-Force Member'ların Belirlenmesi

Bazı çubuklar hiçbir kuvvet taşımaz; bunlara zero-force member denir. Bu çubukları, belirli kurallara göre hesaplama yapmadan tespit edebiliriz:

Kural 1: İki çubuk bir joint'te buluşuyorsa ve bu joint'te dış kuvvet yoksa, o çubuklar zero-force member olabilir.
Kural 2: Üç çubuk bir joint'te buluşuyor ve bunlardan ikisi aynı doğrultuda ise, üçüncü çubuk zero-force member'dır.

Zero-force member'ları belirlemek, analiz sürecini hızlandırır ve denklem sayısını azaltır.

Adım 3: Joint'lerin Serbest Cisim Diyagramlarının Çizilmesi

Her bir joint için serbest cisim diyagramı çizilir:

Kuvvetlerin etki ettiği noktalar belirlenir.
Her çubuk başlangıçta çekme (tension) kabul edilir. Yani, kuvvetler joint'ten çubuğun göbeğine doğru çizilir.
Dış kuvvetler ve destek reaksiyonları diyagrama eklenir.

Not: Her bir joint'te en fazla iki bilinmeyen olmalıdır; çünkü parçacık dengesinde iki denge denklemi (toplam $F_x = 0$ , toplam $F_y = 0$ ) kullanabiliriz.

Adım 4: Eşitliklerin Yazılması ve Çözülmesi

Her bir joint için denge denklemleri yazılır:

Toplam $F_x = 0$
Toplam $F_y = 0$

Bu denklemler, diyagramdaki okların yönüne göre yazılır. Çözüm sırasında:

Kuvvetlerin büyüklükleri başta bilinmez; sadece okların yönüne göre denklemler kurulur.
Bilinmeyen kuvvetler hesaplanır.
Bulunan kuvvetlerin işaretlerine dokunulmaz.

Örnek:

A joint'i için denge denklemleri yazılırken, $F_{AD}$ ve $F_{AB}$ bilinmeyenleri dikkate alınır.
Dış kuvvetler ve açıların trigonometri kullanılarak denklemlere dahil edilmesi gerekebilir.

Adım 5: Kuvvetlerin Yorumlanması

Bulunan kuvvetlerin işaretlerine göre çubukların durumu belirlenir:

Pozitif (+) değerler: Çubuk çekme (tension) altındadır.
Negatif (-) değerler: Çubuk basma (compression) altındadır.

Bu bilgi, çubuğun tasarımı ve malzeme seçimi için kritiktir.

Önemli Noktalar

Çubukların Yönleri ve İşaretler: Başlangıçta tüm çubuklar çekme kabul edilse de, hesaplama sonucunda negatif çıkan kuvvetler çubuğun basma altında olduğunu gösterir.
Denge Denklemlerinin Kullanımı: Her joint için en fazla iki bilinmeyen olacak şekilde denge denklemleri kurulmalıdır.
Geometri ve Açıların Belirlenmesi: Çubukların açıları, denge denklemlerinde trigonometri için gereklidir. Geometri bilgisi soruda verilmelidir.

Sonuç

Truss sistemlerinin analizi, yapısal mühendislikte temel bir konudur. Method of Joints, tüm çubukların kuvvetlerini belirlemek için etkili bir yöntemdir. Adım adım ilerleyerek ve denge denklemlerini doğru bir şekilde kurarak, truss sistemlerinin güvenli ve etkin bir şekilde tasarımına katkıda bulunabiliriz.