Analytical Geometry in 3D

Analitik geometride düzlemlerin denklemleri, üç boyutlu uzaydaki yüzeyleri anlamak için temel bir konudur. Bu yazıda, bir düzlemin denklemini nasıl bulacağımızı ve bu süreçte normal vektörler ve noktaların nasıl kullanıldığını ele alacağız.

Düzlem Denklemi Nasıl Yazılır?

Bir düzlemin denklemini bulmak için iki temel bilgiye ihtiyacımız vardır:

1. Düzlem üzerinde bir nokta: Düzlemde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları, genellikle $P_0(x_0, y_0, z_0)$ ile gösterilir.
2. Düzlemin normal vektörü: Düzleme dik olan bir vektör, genellikle $\mathbf{n}$ ile gösterilir ve bileşenleri $n_x$, $n_y$, $n_z$'dir.

Düzlem Denklemi Formülü

Bu iki bilgiyle düzlemin denklemi şu şekilde yazılır:

$$n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0$$

Bu denklemde:

• $(x, y, z)$, düzlem üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır.
• $(x_0, y_0, z_0)$, bilinen bir noktanın koordinatlarıdır.
• $n_x$, $n_y$, $n_z$, normal vektörün bileşenleridir.

Normal Vektörünün Önemi

Normal vektör, düzleme dik olan ve yönü belirleyen bir vektördür. Uzayda vektörleri istediğimiz noktaya taşıyabildiğimiz için, normal vektörün başlangıç noktası önemli değildir; önemli olan yönüdür.

Örnekler ile Anlama

Örnek 1: Düzlemin Denklemini Bulma

Soru: $P_0(1, 2, -3)$ noktasından geçen ve normal vektörü $\mathbf{n} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ olan düzlemin denklemini bulun.

Çözüm:

Düzlem denklemini kullanarak:

$$2(x - 1) + 3(y - 2) - 2(z + 3) = 0$$

Düzenlersek:

$$2x - 2 + 3y - 6 - 2z - 6 = 0$$ $$2x + 3y - 2z - 14 = 0$$

Örnek 2: Orijinden Geçen Düzlemin Denklemi

Soru: Orijinden geçen ve normal vektörü $\mathbf{n} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ olan düzlemin denklemini bulun.

Çözüm:

Orijin noktası $(0, 0, 0)$ olduğundan, düzlem denklemi:

$$1 (x - 0) + 1 (y - 0) + 0 (z - 0) = 0$$ $$x + y = 0$$

Örnek 3: Üç Noktadan Geçen Düzlemin Denklemi

Soru: $P(-3, 1, -4)$, $Q(1, 2, 0)$ ve $R(10, 1, 2)$ noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun.

Çözüm:

1. İki Vektör Bulma:

   $\mathbf{u} = \overrightarrow{QR} = (10 - 1, 1 - 2, 2 - 0) = (9, -1, 2)$

   $\mathbf{v} = \overrightarrow{QP} = (-3 - 1, 1 - 2, -4 - 0) = (-4, -1, -4)$

2. Normal Vektörü Bulma:

   $\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$

   Çapraz çarpımı hesaplayalım:

   $$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 9 & -1 & 2 \\ -4 & -1 & -4 \\ \end{vmatrix}$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i}((-1) \cdot (-4) - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(9 \cdot (-4) - 2 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(9 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-4))$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i}(4 + 2) - \mathbf{j}(-36 + 8) + \mathbf{k}(-9 - 4)$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i}(6) - \mathbf{j}(-28) + \mathbf{k}(-13)$$ $$\mathbf{n} = 6\mathbf{i} + 28\mathbf{j} -13\mathbf{k}$$

3. Düzlem Denklemini Yazma:

   Seçtiğimiz nokta $Q(1, 2, 0)$ olsun.

   $$6(x - 1) + 28(y - 2) -13(z - 0) = 0$$

   Düzenlersek:

   $$6x - 6 + 28y - 56 -13z = 0$$ $$6x + 28y -13z -62 = 0$$

Düzlemlerin Birbirine Dikliği

İki düzlemin birbirine dik olup olmadığını anlamak için, normal vektörlerinin birbirine dik olup olmadığını kontrol ederiz.

Örnek:

Düzlemler:

1. $4x - 9y - z = 7$
2. $x - 2y -14z = 3$

Normal Vektörleri:

1. $\mathbf{n}_1 = (4, -9, -1)$
2. $\mathbf{n}_2 = (1, -2, -14)$

Skaler Çarpım:

$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 4 \cdot 1 + (-9) \cdot (-2) + (-1) \cdot (-14) = 4 + 18 + 14 = 36$$

Sonuç sıfır olmadığından, düzlemler birbirine dik değildir. Eğer skaler çarpım sıfır olsaydı, düzlemler dik olacaktı.

Sonuç

Düzlemlerin denklemlerini bulmak, üç boyutlu analitik geometride önemli bir beceridir. Düzlem üzerinde bir nokta ve normal vektörü kullanarak denklemi kolayca oluşturabiliriz. Ayrıca, düzlemlerin birbirine dikliğini normal vektörler aracılığıyla belirleyebiliriz. Bu temel prensipleri anladıktan sonra, daha karmaşık geometrik problemleri çözmek daha kolay hale gelir.