Analytical Geometry in 3D: Vectors

Yeni bir konuya başlıyoruz: 3 Boyutlu Uzayda Analitik Geometri. Bu bölümde, Vectors and Coordinates Geometry in 3D Space konusunu ele alacağız. Özellikle, iki nokta arasındaki uzaklığı ve bir noktanın eksenlere olan uzaklığını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

3 Boyutlu Uzayda İki Nokta Arasındaki Uzaklık

3 boyutlu uzayda, her nokta $(x, y, z)$ koordinatlarıyla temsil edilir. İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor Teoremi'nin üç boyutlu versiyonunu kullanırız.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü:

Verilen iki nokta $A(x_{A}, y_{A}, z_{A})$ ve $B(x_{B}, y_{B}, z_{B})$ olsun. Aralarındaki uzaklık $d$ şu şekilde hesaplanır:

$$d = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2 + (z_{B} - z_{A})^2}$$

Örnek 1: A ve B Noktaları Arasındaki Uzaklık

Verilen:

• $A(2, -2, 1)$
• $B(5, 3, -8)$

Uzaklığı bulalım:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-2))^2 + (-8 - 1)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (5)^2 + (-9)^2} \\ &= \sqrt{9 + 25 + 81} \\ &= \sqrt{115} \end{align*}$$

Sonuç olarak, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $\sqrt{115}$ birimdir.

Örnek 2: B ve C Noktaları Arasındaki Uzaklık

Verilen:

• $B(5, 3, -8)$
• $C(-2, 0, 1)$

Uzaklığı bulalım:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{(-2 - 5)^2 + (0 - 3)^2 + (1 - (-8))^2} \\ &= \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (9)^2} \\ &= \sqrt{49 + 9 + 81} \\ &= \sqrt{139} \end{align*}$$

Bu durumda, $B$ ve $C$ noktaları arasındaki uzaklık $\sqrt{139}$ birimdir.

Bir Noktanın Eksenlere Olan Uzaklığı

Bir noktanın bir eksene olan en kısa uzaklığı, o noktanın ilgili eksene olan dik mesafesidir. Bunu bulmak için, noktanın ilgili eksen üzerindeki izdüşümünü buluruz ve bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplarız.

Genel Yaklaşım

Verilen bir nokta $P(a, b, c)$ olsun. Aşağıdaki adımları takip ederiz:

1. İlgili Eksendeki İzdüşümü Bulun:

   • X ekseni için: $P_x(a, 0, 0)$
   • Y ekseni için: $P_y(0, b, 0)$
   • Z ekseni için: $P_z(0, 0, c)$

2. Uzaklığı Hesaplayın:

   İlgili eksene olan uzaklık $d$, $P$ ve $P_{\text{ekseni}}$ arasındaki uzaklıktır.

Uzaklık Formülleri

• X Ekseni İçin:

  $$d_x = \sqrt{(b - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$$

• Y Ekseni İçin:

  $$d_y = \sqrt{(a - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$$

• Z Ekseni İçin:

  $$d_z = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Örnek: Noktanın Eksenlere Uzaklığı

Verilen nokta $P(1, 2, 3)$ olsun.

X Ekseni'ne Uzaklık

$$d_x = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Y Ekseni'ne Uzaklık

$$d_y = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

Z Ekseni'ne Uzaklık

$$d_z = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Sonuç olarak:

• $P$ noktasının X Ekseni'ne uzaklığı: $\sqrt{13}$ birim
• $P$ noktasının Y Ekseni'ne uzaklığı: $\sqrt{10}$ birim
• $P$ noktasının Z Ekseni'ne uzaklığı: $\sqrt{5}$ birim

Özet

3 boyutlu uzayda iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için koordinatların farklarının kareleri toplamının karekökünü alırız. Bir noktanın bir eksene olan uzaklığını bulurken, ilgili eksendeki izdüşüm noktasını bulur ve bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplarız. Bu yöntemlerle, uzayda mesafe hesaplamalarını kolaylıkla yapabiliriz.