Analytical Geometry in 3D, Vectors, Cross Product

Analitik geometri, uzayda noktaların ve şekillerin konumlarını ve aralarındaki ilişkileri incelememize olanak tanır. Bu konuda, 3 boyutlu uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi ve bir noktanın eksenlere olan uzaklığını nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz.

İki Nokta Arasındaki Mesafe

3 boyutlu uzayda, her noktanın bir $(x, y, z)$ koordinatı vardır. İki nokta arasında mesafe bulmak için, Pisagor teoreminin üç boyutlu uzaydaki genellemesini kullanırız. İki nokta $A(x_1, y_1, z_1)$ ve $B(x_2, y_2, z_2)$ olsun. Bu iki nokta arasındaki mesafe $d$ şöyle hesaplanır:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Bu formül, koordinatlar arasındaki farkların karelerinin toplamının karekökünü alarak elde edilir.

Örnek

Verilen noktalar:

• $A(2, -2, 1)$
• $B(5, 3, -8)$

$A$ ve $B$ noktaları arasındaki mesafeyi bulalım:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-2))^2 + (-8 - 1)^2} \\ &= \sqrt{(3)^2 + (5)^2 + (-9)^2} \\ &= \sqrt{9 + 25 + 81} \\ &= \sqrt{115} \end{align*}$$

Sonuç olarak, $A$ ve $B$ arasındaki mesafe $\sqrt{115}$ birimdir.

Noktanın Eksene Olan Uzaklığı

Bir noktanın bir eksene olan uzaklığını bulmak için, noktayı o eksene projekte ederiz. Bu projeksiyon, noktanın ilgili eksen üzerindeki "gölgesi" olarak düşünülebilir. Örneğin, bir noktanın $x$ eksenine olan uzaklığını bulmak istiyorsak, $y$ ve $z$ koordinatlarını sıfırlayarak, noktayı $x$ eksenine projekte ederiz.

Bir nokta $P(a, b, c)$ olsun. $P$ noktasının:

• $x$ eksenine olan uzaklığı:

  $$d_x = \sqrt{b^2 + c^2}$$

• $y$ eksenine olan uzaklığı:

  $$d_y = \sqrt{a^2 + c^2}$$

• $z$ eksenine olan uzaklığı:

  $$d_z = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Örnek

Verilen nokta $P(1, -2, 3)$ olsun. Bu noktanın $x$, $y$ ve $z$ eksenlerine olan uzaklıklarını bulalım.

$x$ Eksenine Olan Uzaklık

$x$ eksenine projeksiyon yaparken, $y$ ve $z$ koordinatlarını sıfırlarız:

• Projeksiyon noktası: $P_x(1, 0, 0)$

Uzaklık:

$$\begin{align*} d_x &= \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \\ &= \sqrt{(-2)^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13} \end{align*}$$

$y$ Eksenine Olan Uzaklık

$y$ eksenine projeksiyon yaparken, $x$ ve $z$ koordinatlarını sıfırlarız:

• Projeksiyon noktası: $P_y(0, -2, 0)$

Uzaklık:

$$\begin{align*} d_y &= \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \\ &= \sqrt{1^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \end{align*}$$

$z$ Eksenine Olan Uzaklık

$z$ eksenine projeksiyon yaparken, $x$ ve $y$ koordinatlarını sıfırlarız:

• Projeksiyon noktası: $P_z(0, 0, 3)$

Uzaklık:

$$\begin{align*} d_z &= \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} \\ &= \sqrt{1^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{align*}$$

Genel Formül

Gözlemlediğimiz üzere, bir noktanın belirli bir eksene olan uzaklığı, o eksendeki koordinatı hariç diğer koordinatların karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

• $x$ eksenine uzaklık:

  $$d_x = \sqrt{y^2 + z^2}$$

• $y$ eksenine uzaklık:

  $$d_y = \sqrt{x^2 + z^2}$$

• $z$ eksenine uzaklık:

  $$d_z = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Özet

3 boyutlu uzayda, iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için koordinatlar arasındaki farkların karelerinin toplamının karekökünü alırız. Bir noktanın bir eksene olan uzaklığını bulmak için ise, noktanın o eksene projeksiyonunu bulur ve aradaki mesafeyi hesaplarız. Bu yöntemlerle uzayda mesafe hesaplamalarını kolaylıkla yapabiliriz.