ANOVA: Analysis of Variance

ANOVA (Analysis of Variance), Türkçe adıyla Varyans Analizi, istatistikte en az üç veya daha fazla normal dağılımlı popülasyonun ortalamalarının eşit olup olmadığını test etmek için kullanılan bir hipotez testidir. Bu yöntemde, gruplar arası ve grup içi varyansları analiz ederek popülasyon ortalamaları hakkında çıkarımlarda bulunuruz.

Hipotezlerin Kurulumu

ANOVA testinde hipotezlerimizi şu şekilde kurarız:

• Null Hipotezi ($H_0$): Tüm popülasyon ortalamaları eşittir.

  $$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \dots = \mu_k$$

• Alternatif Hipotez ($H_1$): En az bir popülasyon ortalaması diğerlerinden farklıdır.

  $$H_1: \text{En az bir } \mu \text{ diğerlerinden farklıdır}$$

Burada $k$, karşılaştırılan grup sayısını temsil eder. ANOVA'da her zaman eşitlik hipotezini test ederiz ve yönlü alternatif hipotezler (büyüktür, küçüktür) kullanmayız.

ANOVA Hesaplama Adımları

1. Her Bir Örneklemin Ortalamasını Hesaplama: Her grubun (örneklemin) ortalamasını ($\overline{X}_i$) buluruz.

2. Genel Ortalamayı Hesaplama: Tüm verilerin genel ortalamasını ($\overline{X}_{\text{genel}}$) hesaplarız.

   $$\overline{X}_{\text{genel}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} X_{ij}}{N}$$

   Burada $n_i$ her bir grubun örneklem büyüklüğünü, $N$ ise toplam örneklem büyüklüğünü ($N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$) temsil eder.

3. Gruplar Arası Kareler Toplamı (SSG) Hesaplama:

   $$SSG = \sum_{i=1}^{k} n_i (\overline{X}_i - \overline{X}_{\text{genel}})^2$$

4. Gruplar İçi Kareler Toplamı (SSW) Hesaplama:

   $$SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \overline{X}_i)^2$$

5. Ortalama Kareler Hesaplama:

   • Gruplar Arası Ortalama Kareler (MSG): $$MSG = \frac{SSG}{k - 1}$$
   • Gruplar İçi Ortalama Kareler (MSW): $$MSW = \frac{SSW}{N - k}$$

6. F İstatistiğini Hesaplama:

   $$F = \frac{MSG}{MSW}$$

7. Karar Verme:

   • Hesaplanan $F$ değeri, tablo değerinden büyükse ($F_{\text{hesap}} > F_{\text{tablo}}$), $H_0$ reddedilir.
   • Hesaplanan $F$ değeri, tablo değerinden küçükse ($F_{\text{hesap}} \leq F_{\text{tablo}}$), $H_0$ reddedilemez.

Örnek Uygulama

Soru: Üç farklı araba markasının ortalama yakıt tüketimleri aynı mıdır?

Verilen örneklem verilerine dayanarak adımları takip edelim:

1. Her Bir Grubun Ortalamasını Hesaplama:

   • $\overline{X}_1 = 14$
   • $\overline{X}_2 = 13$
   • $\overline{X}_3 = 17$

2. Genel Ortalamayı Hesaplama:

   $$\overline{X}_{\text{genel}} = \frac{84 + 78 + 85}{6 + 6 + 5} = 14.53$$

3. SSG Hesaplama:

   $$\begin{align*} SSG = &6(14 - 14.53)^2 + 6(13 - 14.53)^2 + 5(17 - 14.53)^2 \\ = &46.24 \end{align*}$$

4. SSW Hesaplama:

   • Grup 1 için: $$SS_1 = \sum (X_{1j} - \overline{X}_1)^2 = 10$$
   • Grup 2 için: $$SS_2 = \sum (X_{2j} - \overline{X}_2)^2 = 56$$
   • Grup 3 için: $$SS_3 = \sum (X_{3j} - \overline{X}_3)^2 = 30$$
   • Toplam: $$SSW = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 96$$

5. Ortalama Kareler Hesaplama:

   • $k = 3$, $N = 17$
   • $$MSG = \frac{SSG}{k - 1} = \frac{46.24}{2} = 23.12$$
   • $$MSW = \frac{SSW}{N - k} = \frac{96}{14} = 6.86$$

6. F İstatistiğini Hesaplama:

   $$F = \frac{MSG}{MSW} = \frac{23.12}{6.86} = 3.37$$

7. Karar Verme:

   • Serbestlik dereceleri: $df_1 = k - 1 = 2$, $df_2 = N - k = 14$
   • $F_{\text{tablo}}$ değeri (α = 0.05 için): $F_{\text{tablo}} = 3.74$
   • Karşılaştırma: $F_{\text{hesap}} = 3.37 < F_{\text{tablo}} = 3.74$
   • Sonuç: $H_0$ reddedilemez. Araba markalarının ortalama yakıt tüketimleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktur.

Excel ile ANOVA Çözümü

Sınavlarda veya pratikte, ANOVA analizini Excel gibi yazılımlarla yapmak hızlı ve etkilidir. Excel'de ANOVA çıktısı şu şekilde yorumlanır:

• SS (Sum of Squares): SSG ve SSW değerleri.
• df (Degrees of Freedom): Serbestlik dereceleri ($k - 1$ ve $N - k$).
• MS (Mean Square): MSG ve MSW değerleri.
• F ve F-Kritik Değer: Hesaplanan $F$ istatistiği ve tablo değeri.
• P-değeri: Anlamlılık düzeyini belirler. $P$-değeri α'dan büyükse $H_0$ reddedilemez.

Örnek Excel Çıktısı:

| Kaynak | SS | df | MS | F | P-değeri | F-kritik | |------------------|--------|----|--------|-------|----------|----------| | Between Groups | 46.24 | 2 | 23.12 | 3.37 | 0.06 | 3.74 | | Within Groups | 96 | 14 | 6.86 | | | | | Total | 142.24 | 16 | | | | |

• Karar: $P$-değeri (0.06), α (0.05)'dan büyük olduğu için $H_0$ reddedilemez.

Önemli Notlar

• Gruplar Arası Varyasyon Artarsa:

  • Ortalamalar arasındaki farklar büyür.
  • SSG ve dolayısıyla $F$ değeri artar.
  • $F_{\text{hesap}} > F_{\text{tablo}}$ olabilir, bu da $H_0$'ın reddedilmesine yol açar.

• Grup İçi Varyasyon Artarsa:

  • Grupların içindeki değerlerin çeşitliliği artar.
  • SSW ve MSW artar, $F$ değeri azalır.
  • $H_0$'ın reddedilmesi zorlaşır.

• Toplam Kareler Toplamı (SST):

  $$SST = SSG + SSW$$
  • SST, toplam varyasyonu temsil eder ve şu şekilde hesaplanabilir: $$SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \overline{X}_{\text{genel}})^2$$

Sonuç

ANOVA testi, birden fazla grubun ortalamalarını karşılaştırmanın güçlü bir yoludur. Varyansları analiz ederek popülasyon ortalamaları hakkında anlamlı sonuçlara ulaşabiliriz. Önemli olan adımları dikkatlice takip etmek ve hesaplamaları doğru yapmaktır. Bu sayede, farklı gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı farklar olup olmadığını güvenilir bir şekilde belirleyebiliriz.