Applications of Determinant

Doğrusal cebirde determinantın önemli uygulamalarından biri, geometrik şekillerin alan ve hacimlerini hesaplamaktır. Bu yazıda, determinantı kullanarak üçgenin alanını ve tetrahedronun hacmini nasıl hesaplayabileceğimizi öğreneceğiz.

Üçgen Alanının Hesaplanması

Koordinatları verilen üçgenin alanını hesaplamak için determinant kullanabiliriz. Üçgenin köşe noktaları $P_1 (x_1, y_1)$, $P_2 (x_2, y_2)$ ve $P_3 (x_3, y_3)$ olsun. Bu durumda, üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

$$\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

Örnek: Koordinatları Verilen Bir Üçgenin Alanı

Köşe noktaları $A (1, 0)$, $B (2, 2)$ ve $C (4, 3)$ olan bir üçgenin alanını hesaplayalım.

Adım 1: Determinantı yazalım:

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix}$$

Adım 2: Determinantı hesaplayalım:

Determinantı satır geliştirimi ile hesaplayacağız. İlk satırı kullanarak:

$$\begin{align*} D &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \\ \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 0 + 1 \cdot (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4) \\ &= 1 \cdot (2 - 3) + 1 \cdot (6 - 8) \\ &= 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) \\ &= -1 - 2 \\ &= -3 \\ \end{align*}$$

Adım 3: Alanı bulalım:

Negatif bir alan fiziksel olarak anlamlı olmadığından, mutlak değerini alırız:

$$\text{Alan} = \frac{1}{2} |D| = \frac{1}{2} | -3 | = \frac{3}{2}$$

Yani, üçgenin alanı $\frac{3}{2}$ birim karedir.

Tetrahedronun Hacminin Hesaplanması

Üç boyutlu uzayda bir tetrahedronun hacmini determinant kullanarak hesaplayabiliriz. Tetrahedronun köşe noktaları $P_1 (x_1, y_1, z_1)$, $P_2 (x_2, y_2, z_2)$, $P_3 (x_3, y_3, z_3)$ ve $P_4 (x_4, y_4, z_4)$ olsun. Hacim aşağıdaki formülle bulunur:

$$\text{Hacim} = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

Örnek: Koordinatları Verilen Bir Tetrahedronun Hacmi

Köşe noktaları $A (0, 4, 1)$, $B (4, 0, 0)$, $C (3, 5, 2)$ ve $D (2, 2, 5)$ olan bir tetrahedronun hacmini hesaplayalım.

Adım 1: Determinantı yazalım:

$$\begin{vmatrix} 0 & 4 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 5 & 1 \\ \end{vmatrix}$$

Adım 2: Determinantı hesaplayalım:

Determinantı ikinci satıra göre geliştirelim çünkü bu satırda sıfırlar var ve hesaplamamızı kolaylaştırır.

İşaret matrisimizi oluşturalım:

$$\begin{array}{cccc} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ \end{array}$$

İkinci satırın elemanları ve işaretleri:

• $-4$ (ikinci satır, birinci sütun)
• $+0$ (işleme gerek yok)
• $-0$ (işleme gerek yok)
• $+1$

Adım 3: Minor determinantları hesaplayalım:

• Birinci eleman ($-4$):

  $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ \end{vmatrix}$$

• Dördüncü eleman ($+1$):

  $$\begin{vmatrix} 0 & 4 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \\ \end{vmatrix}$$

Adım 4: 3x3 determinantları hesaplayalım:

• Birinci determinant:

  $$\begin{align*} D_1 &= 4 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 5) - 1 \cdot (5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (5 \cdot 5 - 2 \cdot 2) \\ &= 4 \cdot (2 - 5) - 1 \cdot (5 - 2) + 1 \cdot (25 - 4) \\ &= 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 21 \\ &= -12 - 3 + 21 \\ &= 6 \\ \end{align*}$$

• İkinci determinant:

  $$\begin{align*} D_2 &= 0 \cdot (5 \cdot 5 - 2 \cdot 2) - 4 \cdot (3 \cdot 5 - 2 \cdot 2) + 1 \cdot (3 \cdot 2 - 5 \cdot 2) \\ &= 0 - 4 \cdot (15 - 4) + 1 \cdot (6 - 10) \\ &= -4 \cdot 11 + (-4) \\ &= -44 - 4 \\ &= -48 \\ \end{align*}$$

Adım 5: Determinantı toparlayalım:

$$D = (-4) \cdot D_1 + 1 \cdot D_2 = (-4) \cdot 6 + 1 \cdot (-48) = -24 - 48 = -72$$

Adım 6: Hacmi bulalım:

$$\text{Hacim} = \frac{1}{6} |D| = \frac{1}{6} | -72 | = \frac{72}{6} = 12$$

Yani, tetrahedronun hacmi $12$ birim küptür.

Sonuç

Determinantın geometrik uygulamaları, analitik geometride alan ve hacim hesaplamalarında önemli bir rol oynar. Üçgenin alanını ve tetrahedronun hacmini determinant kullanarak hesaplamak, koordinatları verilen şekillerin boyutlarını kolayca bulmamızı sağlar. Bu yöntemler, özellikle karmaşık şekillerin ve çok boyutlu uzayların incelenmesinde etkili ve pratiktir.