Applications of Taylor Series

Taylor Serilerinin Uygulamaları

Taylor serileri, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışını anlamamıza ve bu fonksiyonu polinomlarla yaklaşmamıza olanak tanıyan güçlü bir araçtır. Analiz ve hesaplamalarda sıklıkla karşımıza çıkan Taylor serileri, özellikle limit hesaplamalarında ve belirsiz durumların çözümünde oldukça faydalıdır.

Taylor Serisi Nedir?

Bir fonksiyon ( f(x) ), ( x = a ) noktası etrafında sonsuz dereceli bir polinom şeklinde ifade edilebilir. Bu polinom, fonksiyonun ve türevlerinin ( a ) noktasındaki değerlerine bağlıdır. Taylor serisi şu şekilde tanımlanır:

$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \dots$$

Eğer ( a = 0 ) ise, bu özel duruma Maclaurin Serisi denir.

Limit Hesaplamalarında Taylor Serisi Kullanımı

Taylor serileri, özellikle ( 0/0 ) ve ( \infty/\infty ) gibi belirsizliklerin bulunduğu limitlerin hesaplanmasında kullanışlıdır. Fonksiyonları polinomlarla ifade ederek, limitleri daha kolay hesaplayabiliriz.

Örnek 1:

Belirli bir fonksiyon için:

• ( f(0) = 0 )
• ( f'(0) = 1 )
• ( f''(0) = 2 )
• ( f'''(0) = 3 )
• Genel olarak, ( f^{(n)}(0) = n )

Bu fonksiyonun ( x = 0 ) etrafındaki Taylor serisini yazalım.

Taylor serisi:

$$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots$$

Verilen değerlere göre:

• ( f(0) = 0 )
• ( f'(0) = 1 )
• ( f''(0) = 2 )
• ( f'''(0) = 3 )
• ( f^{(n)}(0) = n )

Seriyi yazalım:

$$f(x) = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{3}{3!}x^3 + \dots + \frac{n}{n!}x^n + \dots$$

Basitleştirelim:

$$f(x) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + \dots + \frac{x^n}{(n-1)!} + \dots$$

Genel terim:

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!}$$

Bu fonksiyonun limit hesaplamalarında nasıl kullanılabileceğini inceleyelim.

Örneğin, şu limiti hesaplayalım:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x - x^2}{x^3}$$

Çözüm:

Fonksiyonun Taylor serisini kullanarak ifadeyi sadeleştirelim:

$$f(x) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + \dots$$

Farkı alalım:

$$f(x) - x - x^2 = \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + \dots$$

Payda ile bölerek:

$$\frac{f(x) - x - x^2}{x^3} = \frac{\dfrac{x^3}{2} + \dfrac{x^4}{6} + \dots}{x^3} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \dots$$

( x \to 0 ) giderken, ( x ) terimleri sıfıra yaklaşır. Dolayısıyla limit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x - x^2}{x^3} = \frac{1}{2}$$

İki Fonksiyonun Toplamının Limiti

Örnek 2:

Fonksiyonlar ( f(x) ) ve ( g(x) ) için:

• ( f(0) = 1 ), ( f'(0) = 0 ), ( f''(0) = 2 ), ( f'''(0) = -6 )
• ( g(0) = 1 ), ( g'(0) = 0 ), ( g''(0) = -2 ), ( g'''(0) = 3 )

Limiti hesaplayalım:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x) - 2}{x^3}$$

Çözüm:

Öncelikle ( f(x) ) ve ( g(x) ) fonksiyonlarının Taylor serilerini yazalım.

( f(x) ) için:

$$f(x) = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{-6}{3!}x^3 + \dots = 1 + x^2 - x^3 + \dots$$

( g(x) ) için:

$$g(x) = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-2}{2!}x^2 + \frac{3}{3!}x^3 + \dots = 1 - x^2 + \frac{x^3}{2} + \dots$$

Toplayalım:

$$f(x) + g(x) - 2 = (1 + 1 - 2) + (x^2 - x^2) + (- x^3 + \frac{x^3}{2}) + \dots$$

Sadeleştirelim:

$$f(x) + g(x) - 2 = - \frac{x^3}{2} + \dots$$

Payda ile bölerek:

$$\frac{f(x) + g(x) - 2}{x^3} = - \frac{1}{2} + \dots$$

( x \to 0 ) iken, diğer terimler sıfıra yaklaşır. Dolayısıyla limit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x) - 2}{x^3} = -\frac{1}{2}$$

Doğal Logaritmanın Taylor Serisi ile Limit Hesabı

Örnek 3:

Limiti hesaplayalım:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) - x^4}{x^8}$$

Çözüm:

( \ln(1 + x) ) fonksiyonunun Taylor serisi şöyledir:

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$

Burada ( x ) yerine ( \dfrac{1}{2} x^4 ) yazalım:

$$\ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) = \dfrac{1}{2} x^4 - \dfrac{1}{8} x^8 + \dfrac{1}{24} x^{12} - \dots$$

İfademizi yerine koyalım:

$$2 \ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) = x^4 - \dfrac{1}{4} x^8 + \dfrac{1}{12} x^{12} - \dots$$

Farkı alalım:

$$2 \ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) - x^4 = - \dfrac{1}{4} x^8 + \dfrac{1}{12} x^{12} - \dots$$

Payda ile bölerek:

$$\frac{2 \ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) - x^4}{x^8} = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} x^4 - \dots$$

( x \to 0 ) iken, ( x^4 ) terimleri sıfıra yaklaşır. Dolayısıyla limit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \ln\left(1 + \dfrac{1}{2} x^4\right) - x^4}{x^8} = -\dfrac{1}{4}$$

Sonuç

Taylor serileri, fonksiyonların davranışını polinomlarla ifade etmemize olanak tanıyarak, limit hesaplamalarında güçlü bir araç sağlar. Özellikle belirsiz durumlarda, Taylor serilerini kullanarak limitleri kolayca hesaplayabiliriz. Bu yöntem, türev ve integral hesaplamalarında da benzer şekilde uygulanabilir.