Arc Length

İntegralin bir uygulaması olan Yay Uzunluğu (Arc Length) konusunu birlikte inceleyelim. Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki grafiğinin uzunluğunu nasıl hesaplayabileceğimizi öğrenelim.

Yay Uzunluğunun Formülü

Bir fonksiyon ( y = f(x) ) olsun ve ( x = a ) ile ( x = b ) arasında tanımlansın. Bu fonksiyonun grafiğinin bu aralıktaki uzunluğunu bulmak istediğimizde, küçük bir (\text{ds}) parçasını ele alırız. Bu küçük parçayı Pythagoras teoremine göre ifade edebiliriz:

$$\text{ds} = \sqrt{\text{dx}^2 + \text{dy}^2}$$

Buradan hareketle, (\text{ds}) ifadesini yeniden düzenleyebiliriz:

$$\text{ds} = \sqrt{1 + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^2} \, \text{dx} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \text{dx}$$

Bu durumda, yay uzunluğu ( L ) aşağıdaki integral ile bulunur:

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \text{dx}$$

Eğer fonksiyon ( x = g(y) ) biçimindeyse ve ( y = c ) ile ( y = d ) arasında tanımlanmışsa, benzer şekilde:

$$L = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + [g'(y)]^2} \, \text{dy}$$

Örnekler

Örnek 1: ( y = x^{\frac{2}{3}} ) Fonksiyonunun Yay Uzunluğu

Fonksiyonumuz ( y = x^{\frac{2}{3}} ) ve ( x = 1 ) ile ( x = 8 ) arasında yay uzunluğunu bulalım.

Adım 1: Fonksiyonun türevini bulalım:

$$f'(x) = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$$

Türevin karesi:

$$[f'(x)]^2 = \left( \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \right)^2 = \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}$$

Adım 2: Yay uzunluğu formülünü uygulayalım:

$$L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}} \, \text{dx}$$

Bu integrali çözerken ifadeyi sadeleştirelim:

• Payda eşitleme ve kök içerisini düzenleme
• Değişken dönüşümü kullanma (örneğin, ( u ) substitution)

Adım 3: Değişken dönüşümü yapalım:

Let ( u = 9 x^{\frac{2}{3}} + 4 )

Türev alalım:

$$\text{du} = 6 x^{-\frac{1}{3}} \, \text{dx}$$

Buradan (\text{dx}) ifadesini bulup integrali ( u ) cinsinden yazabiliriz.

Adım 4: Sınırları yeni değişkene göre güncelleyelim:

• ( x = 1 ) için ( u = 13 )
• ( x = 8 ) için ( u = 40 )

Adım 5: İntegali çözelim:

$$L = \frac{1}{18} \int_{13}^{40} u^{\frac{1}{2}} \, \text{du}$$

Bu integrali alarak yay uzunluğunu buluruz:

$$L = \left[ \frac{1}{27} u^{\frac{3}{2}} \right]_{13}^{40} = \frac{1}{27} \left( 40^{\frac{3}{2}} - 13^{\frac{3}{2}} \right)$$

Örnek 2: ( y = \ln(\sec x) ) Fonksiyonunun Yay Uzunluğu

Fonksiyon ( y = \ln(\sec x) ) ve ( x = 0 ) ile ( x = \frac{\pi}{4} ) arasında yay uzunluğunu bulalım.

Adım 1: Fonksiyonun türevini bulalım:

$$f'(x) = \tan x$$

Türevin karesi:

$$[f'(x)]^2 = \tan^2 x$$

Adım 2: Yay uzunluğu formülünü uygulayalım:

$$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, \text{dx}$$

Bildiğimiz üzere, ( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x ). Bu yüzden integralimiz:

$$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec x \, \text{dx}$$

Adım 3: İntegali çözelim:

Secant fonksiyonunun integrali:

$$\int \sec x \, \text{dx} = \ln | \sec x + \tan x | + C$$

Sınırları uygulayalım:

$$L = \left[ \ln | \sec x + \tan x | \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

Değerleri yerine koyarak yay uzunluğunu hesaplayabiliriz.

Örnek 3: ( x = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} ) Eğrisinin Yay Uzunluğu

Fonksiyonumuz ( x = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} ) ve ( x = 0 ) ile ( x = \frac{2}{3} ) arasında yay uzunluğunu bulalım.

Adım 1: ( y ) cinsinden sınırları bulalım:

• ( x = 0 ) için ( y = 0 )
• ( x = \frac{2}{3} ) için ( y = 1 )

Adım 2: Fonksiyonun türevini bulalım:

$$g(y) = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad g'(y) = y^{\frac{1}{2}}$$

Türevin karesi:

$$[g'(y)]^2 = y$$

Adım 3: Yay uzunluğu formülünü ( y ) cinsinden uygulayalım:

$$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + y} \, \text{dy}$$

Adım 4: İntegali çözelim:

Değişken dönüşümü yapalım:

Let ( u = 1 + y ), o zaman ( \text{du} = \text{dy} )

Sınırlar:

• ( y = 0 ) için ( u = 1 )
• ( y = 1 ) için ( u = 2 )

İntegral:

$$L = \int_{1}^{2} \sqrt{u} \, \text{du} = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2}$$

Sonuç olarak:

$$L = \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (\sqrt{8} - 1)$$

Sonuç

Yay uzunluğu, integralin önemli uygulamalarından biridir ve eğrilerin belirli aralıklardaki gerçek uzunluklarını hesaplamamıza olanak tanır. Bu konuyu anlamak için türev ve integrasyon bilgimizi kullanırız. Örneklerle gösterdiğimiz gibi, formülü doğru bir şekilde uygulayarak karmaşık görünen problemleri adım adım çözebiliriz.