Arc Length Calculation

Ark Uzunluğu Hesaplaması

Sevgili arkadaşlar, bugün Calculus II konularından biri olan Ark Uzunluğu Hesaplaması (Arc Length Calculation) üzerine konuşacağız. Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki grafiğinin uzunluğunu nasıl hesaplayabileceğimizi adım adım inceleyeceğiz.

Ark Uzunluğu Nedir?

Bir fonksiyon ( f(x) ) verilmiş olsun ve bizden ( x = a ) ile ( x = b ) arasındaki grafiğinin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bunu bir ip gibi düşünebiliriz: Fonksiyonun grafiği üzerinde bu aralıktaki kısmı bir ip şeklinde alıp gerersek, cetvelle ölçebileceğimiz bir uzunluk elde ederiz. İşte bu uzunluk, ark uzunluğu olarak adlandırılır.

Ark Uzunluğu Formülünün Türetilmesi

Ark uzunluğunu hesaplamak için küçük bir parçadan yararlanacağız. Fonksiyonumuzun üzerindeki çok küçük bir aralığa bakalım ve burayı büyütelim:

• Küçük bir ( dx ) ve ( dy ) aralığında, oluşan küçük üçgenin hipotenüsü ( ds ) olur.
• Pisagor Teoremi'ni kullanarak: $$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$
• Her iki tarafı ( dx ) ile bölersek: $$\frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}$$
• Buradan ( ds ) ifadesini elde ederiz: $$ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

Ark uzunluğu formülü bu durumda:

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

Eğer fonksiyonumuz ( x ) cinsinden değil de ( y ) cinsinden verilmişse, benzer şekilde:

$$L = \int_c^d \sqrt{1 + [g'(y)]^2} \, dy$$

burada ( x = g(y) ) şeklinde fonksiyonu ifade etmiş oluruz.

Örnek 1: ( y = x^{2/3} ) Fonksiyonunun Ark Uzunluğu

( y = x^{2/3} ) fonksiyonunun ( x = 1 ) ile ( x = 8 ) arasındaki ark uzunluğunu hesaplayalım.

Adım 1: Türevini Alalım

Türevi bulun:

$$f'(x) = \frac{2}{3} x^{-1/3}$$

Adım 2: Türevin Karesini Bulalım

$$[f'(x)]^2 = \left( \frac{2}{3} x^{-1/3} \right)^2 = \frac{4}{9} x^{-2/3}$$

Adım 3: Ark Uzunluğu Formülünü Uygulayalım

$$L = \int_1^8 \sqrt{1 + \frac{4}{9} x^{-2/3}} \, dx$$

Adım 4: İfadeyi Sadelştirelim

Payda eşitleyip ifadeyi düzenleyelim:

$$\sqrt{1 + \frac{4}{9} x^{-2/3}} = \sqrt{\frac{9 x^{2/3} + 4}{9 x^{2/3}}} = \frac{\sqrt{9 x^{2/3} + 4}}{3 x^{1/3}}$$

Adım 5: Değişken Değiştirelim

U değişkenini tanımlayalım:

$$u = 9 x^{2/3} + 4 \implies du = 6 x^{-1/3} \, dx$$

Buradan ( dx ) ifadesini ( du ) cinsinden yazabiliriz:

$$dx = \frac{x^{1/3}}{6} du$$

Adım 6: İntegrali Yeni Değişkene Göre Yazalım

Sınırları yeni değişkene göre değiştirelim:

• ( x = 1 ) için ( u = 13 )
• ( x = 8 ) için ( u = 40 )

İntegralimiz şimdi:

$$L = \int_{13}^{40} \frac{\sqrt{u}}{18} \, du$$

Adım 7: İntegrali Hesaplayalım

$$L = \frac{1}{18} \int_{13}^{40} u^{1/2} \, du = \frac{1}{18} \left[ \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right]_{13}^{40} = \frac{1}{27} \left( 40^{3/2} - 13^{3/2} \right)$$

Sonuç olarak, fonksiyonun ( x = 1 ) ile ( x = 8 ) arasındaki ark uzunluğu bulunur.

Örnek 2: ( y = \ln(\sec x) ) Fonksiyonunun Ark Uzunluğu

( y = \ln(\sec x) ) fonksiyonunun ( x = 0 ) ile ( x = \frac{\pi}{4} ) arasındaki ark uzunluğunu bulalım.

Adım 1: Türevini Alalım

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(\sec x) = \tan x$$

Adım 2: Türevin Karesini Bulalım

$$[f'(x)]^2 = \tan^2 x$$

Adım 3: Ark Uzunluğu Formülünü Uygulayalım

$$L = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx$$

Adım 4: Trigonometrik Özdeşlik Kullanımı

Biliyoruz ki:

$$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

Dolayısıyla:

$$L = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\sec^2 x} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x \, dx$$

Adım 5: İntegrali Hesaplayalım

$$L = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x \, dx = \ln \left| \sec x + \tan x \right| \Bigg|_0^{\frac{\pi}{4}}$$

Adım 6: Değerleri Yerine Koyalım

Üst sınır için:

$$\ln \left( \sec \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{4} \right) = \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right)$$

Alt sınır için:

$$\ln \left( \sec 0 + \tan 0 \right) = \ln(1) = 0$$

Sonuç olarak:

$$L = \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right)$$

Örnek 3: ( x = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} ) Fonksiyonunun Ark Uzunluğu

Bu sefer fonksiyonumuz ( x ) cinsinden verilmiş. ( x = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} ) fonksiyonunun ( x = 0 ) ile ( x = \frac{2}{3} ) arasındaki ark uzunluğunu bulalım.

Adım 1: Sınırları ( y ) Cinsinden Yazalım

( x ) değerlerini fonksiyonda yerine koyarak ( y ) sınırlarını bulalım:

• ( x = 0 ) için: $$0 = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \implies y = 0$$
• ( x = \frac{2}{3} ) için: $$\frac{2}{3} = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \implies y = 1$$

Yani ( y ) sınırlarımız ( 0 ) ile ( 1 ) arasıdır.

Adım 2: Fonksiyonun Türevini Alalım

Fonksiyonumuzu ( x = g(y) ) olarak düşünürsek:

$$x = \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$$

Türevi:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy} \left( \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \right) = y^{\frac{1}{2}}$$

Adım 3: Ark Uzunluğu Formülünü Uygulayalım

$$L = \int_0^1 \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy = \int_0^1 \sqrt{1 + y} \, dy$$

Adım 4: İntegrali Hesaplayalım

İntegrali hesaplamak için değişken değiştirelim:

$$u = 1 + y \implies du = dy$$

Sınırlar yeni değişkene göre:

• ( y = 0 ) için ( u = 1 )
• ( y = 1 ) için ( u = 2 )

İntegralimiz şimdi:

$$L = \int_1^2 \sqrt{u} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_1^2 = \frac{2}{3} \left( 2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right)$$

Sonuç olarak ark uzunluğu:

$$L = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} - 1 )$$

Sonuç

Ark uzunluğu hesaplaması, fonksiyonların belirli aralıklardaki grafikleri üzerindeki mesafeleri bulmamızı sağlar. Temel olarak türevin karesi ile bir ifadenin integrali alınarak hesaplanır. Örnekler üzerinden gördüğümüz gibi, doğru adımları izlediğimizde ve gerekli matematiksel özdeşlikleri kullandığımızda hesaplamaları kolaylıkla yapabiliriz.

Ark uzunluğu formüllerini ve hesaplama yöntemlerini kavradıktan sonra, farklı fonksiyonlar ve aralıklar için benzer işlemleri uygulayabilirsiniz. Unutmayın, pratik yaptıkça bu konuda daha da ustalaşacaksınız!