Area as Limits of Sums (Riemann Sum)

Fonksiyonların altında kalan alanları hesaplamak, Calculus I konusunun temel taşlarından biridir. İntegrallerle bu alanları hesaplayabiliriz, ancak integrali tanımlamak için önce Riemann Sum (Riemann Toplamı) kavramını anlamamız gerekir. Şimdi, bu kavramı günlük bir hikayeyle ve matematiksel detaylarla keşfedelim.

Riemann Toplamlarına Giriş

Riemann Toplamları, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta grafiğinin altında kalan alanı, dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olarak yaklaşık hesaplama yöntemidir. Bu yaklaşım, integralin temelini oluşturur ve sonsuz küçük dilimlerin toplamına dayanan limit kavramıyla ilgilidir.

Leibniz ve Riemann'ın Tarlası

Hayali bir senaryoda, iki matematikçi olan Gottfried Leibniz ve Bernhard Riemann'a dikdörtgen şeklinde bir tarla miras kalmıştır. Leibniz, tarlayı kendi kafasına göre bir fonksiyonla böler ve üst tarafını kendine ayırır. Riemann ise alt tarafta kalan kısmın daha küçük olduğunu fark eder ve bu durumdan memnun olmaz.

Riemann, tarlanın alanını hesaplamak için zekice bir yöntem önerir: Tarlayı eşit aralıklara böler ve bu aralıklarda dikdörtgenler oluşturur. Böylece fonksiyonun altında kalan alanı, bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olarak yaklaşıklar.

Dikdörtgenlerle Alan Yaklaşımı

Riemann, tarlayı $n$ sayıda eşit genişlikte parçaya böler. Her bir parçanın genişliği:

\Delta x = \frac{b - a}{n}

burada $[a, b]$ aralığı tarlanın uzunluğunu temsil eder.

Her bir dikdörtgenin yüksekliği, fonksiyonun belirli bir noktasındaki değerine eşittir. Yüksekliği belirlemek için üç farklı yöntem kullanabiliriz:

Left Sum (Sol Toplam): Yüksekliği aralığın sol ucundaki fonksiyon değeri $f(x_i)$ ile buluruz.
Right Sum (Sağ Toplam): Yüksekliği aralığın sağ ucundaki fonksiyon değeri $f(x_{i+1})$ ile buluruz.
Middle Sum (Orta Toplam): Yüksekliği aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri $f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right)$ ile buluruz.

Left Sum, Right Sum ve Middle Sum

Sol Toplam (Left Sum)

Sol toplamda, her dikdörtgenin yüksekliği fonksiyona aralığın sol ucundan dokunarak belirlenir. Alanın yaklaşımı:

S_{\text{sol}} = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x

Burada, $x_i = a + i\Delta x$ .

Sağ Toplam (Right Sum)

Sağ toplamda, yüksekliği aralığın sağ ucundan alırız:

S_{\text{sağ}} = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x

Burada, $x_i = a + i\Delta x$ .

Orta Toplam (Middle Sum)

Orta toplamda, yüksekliği aralığın orta noktasından alırız:

S_{\text{orta}} = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{\Delta x}{2}\right) \Delta x

Upper Sum ve Lower Sum

Dikdörtgenlerin alanları, gerçek alanı ya aşar ya da altında kalır:

Upper Sum (Üst Toplam): Dikdörtgenlerin toplam alanı, gerçek alandan fazladır. Fonksiyonun maksimum değerleri kullanılır.
Lower Sum (Alt Toplam): Dikdörtgenlerin toplam alanı, gerçek alandan azdır. Fonksiyonun minimum değerleri kullanılır.

Fonksiyonun artan veya azalan olmasına bağlı olarak, sol veya sağ toplamlar upper veya lower sum olabilir. Örneğin:

Fonksiyon artan ise:
- Sol Toplam $\rightarrow$ Lower Sum
- Sağ Toplam $\rightarrow$ Upper Sum
Fonksiyon azalan ise:
- Sol Toplam $\rightarrow$ Upper Sum
- Sağ Toplam $\rightarrow$ Lower Sum

Örnek: Alanı Yaklaşmak

Bir fonksiyon olsun: $f(x) = 1 - x^2$ , $[0,1]$ aralığında. Bu fonksiyonun altında kalan alanı yaklaşık hesaplayalım.

Sağ Toplam ile Hesaplama

Parça sayısı $n = 4$ olsun. Parça genişliği:

\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0.25

Dikdörtgenlerin sağ uç noktaları:

$x_1 = 0.25$ , $f(x_1) = 1 - (0.25)^2 = 0.9375$
$x_2 = 0.50$ , $f(x_2) = 1 - (0.50)^2 = 0.75$
$x_3 = 0.75$ , $f(x_3) = 1 - (0.75)^2 = 0.4375$
$x_4 = 1.00$ , $f(x_4) = 1 - (1.00)^2 = 0$

Toplam alan:

S_{\text{sağ}} = \sum_{i=1}^{4} f(x_i) \Delta x = (0.9375 + 0.75 + 0.4375 + 0) \times 0.25 = 0.53125

Bu değer, gerçek alandan küçüktür; dolayısıyla lower sum.

Sol Toplam ile Hesaplama

Dikdörtgenlerin sol uç noktaları:

$x_0 = 0.00$ , $f(x_0) = 1 - (0.00)^2 = 1$
$x_1 = 0.25$ , $f(x_1) = 0.9375$
$x_2 = 0.50$ , $f(x_2) = 0.75$
$x_3 = 0.75$ , $f(x_3) = 0.4375$