Area Between Curves

Eğriler Arasındaki Alan

Kalkülüs I dersinde, bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni veya başka bir fonksiyon arasındaki alanın hesaplanması önemli bir konudur. Bu alana "eğriler arasındaki alan" denir ve integral kullanarak hesaplanır. Bu makalede, eğriler arasındaki alanın nasıl bulunduğunu, integral hesaplamalarının nasıl yapıldığını ve bu süreçte dikkat edilmesi gereken noktaları ele alacağız.

İntegral ve Alan İlişkisi

Bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasındaki alanı bulmak için belirli integral kullanılır. Ancak, integralin pozitif veya negatif çıkması, fonksiyonun x ekseninin üstünde mi yoksa altında mı olduğuna bağlıdır.

• Fonksiyon x ekseninin üstündeyse (yani fonksiyon değeri pozitifse), integral sonucu pozitif çıkar ve bu değer alanı temsil eder.
• Fonksiyon x ekseninin altındaysa (yani fonksiyon değeri negatifse), integral sonucu negatif çıkar. Ancak, fiziksel bir alan negatif olamayacağı için bu durumda integral sonucunun mutlak değeri alınır veya eksi ile çarpılır.

Örneklerle İntegral Kullanarak Alan Hesaplama

Örnek 1: Basit Bir Parabolün Altındaki Alan

Fonksiyonumuz olsun:

$$y = x^2 - 2x$$

Bu fonksiyon, kökleri ( x = 0 ) ve ( x = 2 ) olan bir parabolü temsil eder. Grafiği çizdiğimizde, parabolun x eksenini bu noktalarda kestiğini ve tepe noktasının ( x = 1 ) olduğunu görürüz.

Amacımız: ( x = 1 ) ile ( x = 2 ) arasında fonksiyonun altında kalan alanı bulmak.

İntegrali Yazalım:

$$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx$$

İntegrali Hesaplayalım:

1. Fonksiyonu İntegral Alalım:

   $$\int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$$

2. Sınırları Uygulayalım:

   $$\left[ \frac{(2)^3}{3} - (2)^2 \right] - \left[ \frac{(1)^3}{3} - (1)^2 \right]$$ $$\left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right)$$

3. Sonucu Bulalım:

   $$\left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \left( \frac{8 - 12}{3} \right) - \left( \frac{1 - 3}{3} \right) = \left( -\frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$$

Alan Negatif Olamaz:

İntegral sonucu negatif çıktı, çünkü fonksiyon bu aralıkta x ekseninin altında. Bu yüzden alan:

$$\text{Alan} = \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{2}{3}$$

Örnek 2: Fonksiyonun X Ekseni Üstünde Olduğu Durum

Fonksiyonumuz:

$$y = \pi x^2$$

Amacımız: ( x = 0 ) ile ( x = \pi ) arasında fonksiyonun altında kalan alanı bulmak.

İntegrali Yazalım:

$$\int_{0}^{\pi} \pi x^2 \, dx$$

İntegrali Hesaplayalım:

1. Fonksiyonu İntegral Alalım:

   $$\pi \int x^2 \, dx = \pi \left( \frac{x^3}{3} \right) + C$$

2. Sınırları Uygulayalım:

   $$\pi \left[ \frac{(\pi)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3} \right] = \pi \left( \frac{\pi^3}{3} \right) = \frac{\pi^4}{3}$$

Sonuç:

Alanımız pozitif bir değer çıktı:

$$\text{Alan} = \frac{\pi^4}{3}$$

Burada fonksiyon x ekseninin üstünde olduğundan, integral sonucu direkt olarak alanı verir.

Fonksiyonun X Eksenini Kestiği Durumlar

Eğer fonksiyon x eksenini belirli bir aralıkta kesiyorsa, integral hesaplaması yaparken bu noktaları dikkate almak gerekir. Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu bölgeleri ayrı ayrı hesaplayarak mutlak değerlerini alırız.

Örnek 3: Fonksiyon Hem Üstte Hem Altta

Fonksiyonumuz:

$$y = \frac{2x}{1 + x^2}$$

Amacımız: ( x = -2 ) ile ( x = 3 ) arasındaki alanı bulmak.

Analiz:

• ( x = -2 ) ile ( x = 0 ) arasında fonksiyon negatif değerler alır.
• ( x = 0 ) ile ( x = 3 ) arasında fonksiyon pozitif değerler alır.

İntegrali Bölerek Yazalım:

$$\text{Alan} = -\int_{-2}^{0} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx + \int_{0}^{3} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx$$

İntegrali Hesaplayalım:

1. İntegral Çözümü:

   İntegralimiz ( \frac{2x}{1 + x^2} ) şeklinde, bunu u değişkenine göre çözelim:

   • ( u = 1 + x^2 )
   • ( du = 2x , dx )

   Böylece integralimiz ( \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C ) olur.

2. Sınırları Uygulayalım:

   • İlk integral için:

     $$-\left( \ln|1 + (0)^2| - \ln|1 + (-2)^2| \right) = -\left( \ln 1 - \ln 5 \right) = -(-\ln 5) = \ln 5$$

   • İkinci integral için:

     $$\ln|1 + (3)^2| - \ln|1 + (0)^2| = \ln 10 - \ln 1 = \ln 10$$

3. Toplam Alan:

   $$\text{Alan} = \ln 5 + \ln 10 = \ln (5 \times 10) = \ln 50$$

Alanın Hesaplanmasında Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Bölgeler: İntegral alırken fonksiyonun x ekseninin üstünde mi altında mı olduğuna dikkat etmeliyiz.
• İntegrali Bölmek: Fonksiyon x eksenini kesiyorsa, integral hesaplamasını bu noktalara göre bölmeliyiz.
• Mutlak Değer Alma: Negatif sonuçlar alanın negatif olduğu anlamına gelmez; fiziksel alan daima pozitiftir.

Özet

Eğriler arasındaki alanın hesaplanması, integralin temel uygulamalarından biridir. Bu hesaplamalarda:

• Fonksiyonun grafiğini anlamak önemlidir.
• İntegral hesaplamalarında dikkatli olmak ve fonksiyonun x eksenine göre konumunu dikkate almak gerekir.
• Sonuçları fiziksel yorumlamak, yani negatif alan olmayacağını unutmamak önemlidir.

Bu yöntemler ve dikkat noktaları ile eğriler arasındaki alanları doğru bir şekilde hesaplayabilir, kalkülüsün bu temel konusunu derinlemesine anlayabilirsiniz.