Axioms of Probability

Olasılık teorisine giriş yaparken, olasılığın temelini oluşturan aksiyomları anlamak büyük önem taşır. Bu aksiyomlar, olasılık hesaplamalarının temel kurallarını belirler ve ilerleyen konuların anlaşılmasına yardımcı olur.

Örnek Uzay ve Olaylar

Herhangi bir rastgele deneyde, örnek uzay (Sample Space) $\Omega$, tüm olası sonuçların kümesidir. Örneğin, bir zar attığımızda, gelebilecek sayılar $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ şeklindedir. İki zar atıldığında ise, toplam $36$ farklı sonuç elde ederiz.

Bir olay (Event), örnek uzayın bir alt kümesidir. Örneğin, "toplamları çift olan zar sonuçları" bir olaydır.

Olayların Tanımlanması ve Gösterimi

Olasılık problemlerinde, olayları sembolik olarak ifade etmek ve bu ifadeleri anlamak önemlidir. Örnek olarak, iki zar atma durumuna bakalım:

• E olayı: Zarların toplamı tek sayı (Sum is odd).
• F olayı: En az bir zarın üst yüzünde $1$ var (At least one of them is one).
• G olayı: Zarların toplamı $5$ (Sum is $5$).

Bu olayları kesişim ($\cap$) ve birleşim ($\cup$) sembolleriyle ifade edebiliriz. Örneğin:

• $E \cap F$: Hem toplam tek sayı olsun hem de en az bir zar $1$ gelsin.
• $E \cup F$: Toplam tek sayı ya da en az bir zar $1$ gelsin.

Olayların Kesişimi ve Birleşimi

Kesişim ($\cap$)

Kesişim, iki olayın aynı anda gerçekleşme durumunu ifade eder. Matematiksel olarak:

$$P(E \cap F) = \text{Hem } E \text{ hem de } F \text{ olayının olasılığı}$$

Örneğin, $E \cap F$ olayında, zarların toplamı tek sayı olmalı ve en az bir zar $1$ gelmelidir.

Birleşim ($\cup$)

Birleşim, iki olaydan en az birinin gerçekleşme durumunu ifade eder. Matematiksel olarak:

$$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$$

Burada, $P(E \cap F)$, her iki olayın da aynı anda gerçekleşme olasılığını çıkararak, kesişimden kaynaklanan tekrarları engelleriz.

Olasılıkların Hesaplanması

Olasılık hesaplamalarında, her bir basit olayın olasılığını bulup, istenen olayların toplam olasılığını hesaplarız.

Örnek: İki Zar Atma

Toplam olası durum sayısı: $6 \times 6 = 36$

• $P(E)$: Toplamın tek olma olasılığı. Tek toplamlar $18$ farklı durum içerir, yani $P(E) = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}$.
• $P(F)$: En az bir zarın $1$ olma olasılığı. Bu durumlar $11$ farklıdır, yani $P(F) = \dfrac{11}{36}$.
• $P(E \cap F)$: Hem toplam tek hem de en az bir zarın $1$ olma olasılığı. Bu durumlar $6$ tanedir, yani $P(E \cap F) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
• $P(E \cup F)$: $P(E) + P(F) - P(E \cap F) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{11}{36} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{36}$

Olasılığın Aksiyomları

Olasılık teorisinin temelini oluşturan üç ana aksiyom bulunmaktadır:

1. Sıfır ve Bir Arasında Değer Alma:

   $$0 \leq P(A) \leq 1$$

   Herhangi bir olayın olasılığı $0$ ile $1$ arasında olmalıdır.

2. Kesin Olayın Olasılığı:

   $$P(\Omega) = 1$$

   Örnek uzaydaki tüm olası sonuçların toplam olasılığı $1$'dir.

3. Ayrık Olayların Birleşimi:

   Ayrık (disjoint) olaylar için:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Aksiyomların Örneklerle Uygulanması

Örnek: Hileli Bir Yazı Tura

Bir madeni para atıldığında, tura (Heads) gelme olasılığı, yazı (Tails) gelme olasılığının iki katı olsun.

• Tails'in Olasılığı: $P(T) = x$
• Heads'in Olasılığı: $P(H) = 2x$

Aksiyomlara göre, toplam olasılık $1$ olmalıdır:

$$P(H) + P(T) = 1 \\ 2x + x = 1 \\ 3x = 1 \\ x = \dfrac{1}{3}$$

Bu durumda:

• $P(T) = \dfrac{1}{3}$
• $P(H) = \dfrac{2}{3}$

Olayların Birleşimi ve Kesişimi

• $P(H \cup T)$: Heads veya Tails gelme olasılığı, yani $1$ (kesin olay).
• $P(H \cap T)$: Hem Heads hem de Tails gelme olasılığı, yani $0$ (imkânsız olay).

Sonuç

Olasılığın aksiyomları, olasılık hesaplamalarının tutarlı ve doğru bir şekilde yapılmasını sağlar. Bu aksiyomları anlamak, karmaşık olasılık problemlerini çözmede temel öneme sahiptir. Örnekler ve açıklamalarla bu aksiyomların nasıl uygulandığını gördük. Unutmayalım ki, olasılık her zaman $0$ ile $1$ arasında bir değerdir ve tüm olası sonuçların toplamı her zaman $1$'e eşittir.