Basic Probability Theory

Olasılık teorisi, belirsizliği anlamak ve rastgele olayları analiz etmek için kullandığımız matematiksel bir araçtır. Bu makalede, temel olasılık kavramlarını ve formüllerini inceleyerek, örneklerle bu kavramları pekiştireceğiz.

Olasılığın Mantığı ve Temel Kavramlar

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalini ölçer. Öncelikle bazı temel kavramları tanımlayalım:

• Outcome (Sonuç): Bir deneyin olası her bir sonucudur. Örneğin, bir zar atıldığında elde edilebilecek sonuçlar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ve $6$'dır.
• Sample Space (Örnek Uzay): Tüm olası sonuçların kümesidir ve genellikle büyük $S$ harfiyle gösterilir. Zar atma örneğinde örnek uzay $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır.

Temel Olasılık Formülü

Bir olayın olasılığını hesaplamak için aşağıdaki temel formülü kullanırız:

$$P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenilen Sonuçların Sayısı}}{\text{Tüm Muhtemel Sonuçların Sayısı}}$$

Örnek: Bir zar atıldığında sonucun $4$'ten büyük gelme olasılığı nedir?

• İstenilen sonuçlar: $5$ ve $6$ (toplam $2$ sonuç)
• Tüm muhtemel sonuçlar: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ (toplam $6$ sonuç)
• Olasılık:

$$P(\text{Sonuç} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Olasılığın Değer Aralığı

Herhangi bir olayın olasılığı $0$ ile $1$ arasında bir değer alır:

$$0 \leq P(\text{Olay}) \leq 1$$

• $P(\text{Olay}) = 0$: Olayın gerçekleşmesi imkânsızdır.
• $P(\text{Olay}) = 1$: Olayın gerçekleşmesi kesindir.

Olasılık hesaplamalarında genellikle yüzde yerine ondalık gösterim kullanırız:

• %72 yerine: $P(\text{Olay}) = 0.72$
• %8 yerine: $P(\text{Olay}) = 0.08$

Temel Olasılık Kuralları

Toplama Kuralı (Addition Rule)

İki olayın birleşiminin olasılığını hesaplamak için kullanılan formül şöyledir:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Burada:

• $A \cup B$ (A birleşim B): A veya B olaylarından en az birinin gerçekleşmesi.
• $A \cap B$ (A kesişim B): Hem A hem de B olaylarının aynı anda gerçekleşmesi.

Özel Durumlar

1. Ayrık Olaylar (Mutually Exclusive Events)

Eğer $A$ ve $B$ olayları aynı anda gerçekleşemiyorsa, yani:

$$P(A \cap B) = 0$$

Bu durumda $A$ ve $B$ olayları ayrık olaylar olarak adlandırılır.

2. Birlikte Kapsayıcı Olaylar (Collectively Exhaustive Events)

Eğer $A$ ve $B$ olaylarından en az biri mutlaka gerçekleşiyorsa, yani:

$$P(A \cup B) = 1$$

Bu durumda $A$ ve $B$ olayları birlikte kapsayıcı olaylar olarak adlandırılır.

Uygulamalı Örnekler

Örnek 1: Restoran Şikayetleri

Bir restoran yöneticisi, haftalık müşteri şikayet sayılarını aşağıdaki gibi analiz etmiştir:

| Şikayet Sayısı | Olasılık | |----------------|----------| | $0$ | $0.13$ | | $1$–$3$ | $0.40$ | | $4$–$6$ | $0.21$ | | $7$–$9$ | $0.17$ | | $10$–$12$ | $0.07$ | | $13$ veya daha fazlası | $0.02$ |

Not: Olasılıkların toplamı $1$ olmalıdır. Verilen olasılıkları topladığımızda $1$ elde ederiz.

Olay Tanımları

• A Olayı: Haftada en az bir şikayet olması ($1$ veya daha fazla şikayet).
• B Olayı: Haftada $10$'dan az şikayet olması.

Çözümler

1. $P(A)$ nedir?

   $$P(A) = 1 - P(0) = 1 - 0.13 = 0.87$$

2. $P(B)$ nedir?

   $$P(B) = P(0) + P(1\text{–}3) + P(4\text{–}6) + P(7\text{–}9) = 0.13 + 0.40 + 0.21 + 0.17 = 0.91$$

3. $P(A^c)$ nedir?

   $$P(A^c) = P(0) = 0.13$$

4. $P(A \cup B)$ nedir?

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

   $A$ ve $B$ olaylarının kesişimi:

   $$P(A \cap B) = P(1\text{–}3) + P(4\text{–}6) + P(7\text{–}9) = 0.40 + 0.21 + 0.17 = 0.78$$

   Dolayısıyla:

   $$P(A \cup B) = 0.87 + 0.91 - 0.78 = 1$$

5. $P(A \cap B)$ nedir?

   $$P(A \cap B) = 0.78$$

Örnek 2: Timuçin'in Ders Başarıları

Timuçin, iki ders alıyor: A ve B.

• $P(A) = 0.60$ (A dersini geçme olasılığı)
• $P(B) = 0.75$ (B dersini geçme olasılığı)
• $P(A \cup B) = 0.85$ (En az bir dersi geçme olasılığı)

Sorular ve Çözümler

1. Timuçin'in her iki dersi de geçme olasılığı nedir?

   $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.60 + 0.75 - 0.85 = 0.50$$

2. İki dersi geçme olayları ayrık mıdır?

   Hayır, çünkü $P(A \cap B) \ne 0$ olduğundan, olaylar ayrık değildir.

3. İki dersi geçme olayları birlikte kapsayıcı mıdır?

   Hayır, çünkü $P(A \cup B) \ne 1$ olduğundan, olaylar birlikte kapsayıcı değildir.

4. Olaylar bağımsız mıdır?

   Kontrol edelim:

   $$P(A) \times P(B) = 0.60 \times 0.75 = 0.45$$

   Ancak $P(A \cap B) = 0.50$ olduğundan, $P(A \cap B) \ne P(A) \times P(B)$. Dolayısıyla olaylar bağımsız değildir.

5. Timuçin A dersini geçerse, B dersini geçme olasılığı nedir?

   Şartlı Olasılık:

   $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.50}{0.60} \approx 0.83$$

6. Timuçin B dersini geçerse, A dersini geçme olasılığı nedir?

   $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.50}{0.75} \approx 0.67$$

Sonuç

Bu makalede, temel olasılık teorisinin ana kavramlarını ve formüllerini inceledik. Olasılığın mantığını anlamak, günlük hayatta karşılaştığımız belirsizlikleri ve rastgele olayları değerlendirmemize yardımcı olur. Örneklerle birlikte, temel formülleri ve kavramları uygulayarak olasılık problemlerini çözme becerimizi geliştirdik. Unutmayalım ki olasılık, matematiğin hayatımızdaki belirsizlikleri anlamamıza yardımcı olan güçlü bir dalıdır.