Basis for Column, Null and Row Spaces

Lineer cebirde, bir alt uzayın (subspace) bazı kavramı, o alt uzayın yapı taşlarını oluşturan, lineer olarak bağımsız ve o alt uzayı geren (span eden) bir vektör kümesini ifade eder. Bu makalede, kolon uzayı (column space), satır uzayı (row space) ve nul uzayının (null space) bazlarını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Bazis Nedir?

Bir vektör uzayının veya alt uzayın bazı, iki önemli özelliğe sahip bir vektör kümesidir:

1. Lineer Bağımsızlık (Linear Independence): Kümedeki vektörler lineer olarak bağımsızdır, yani hiçbir vektör diğerlerinin lineer birleşimi olarak ifade edilemez.

2. Alt Uzayı Geren (Span Eden): Vektörlerin lineer kombinasyonları, alt uzayın tüm elemanlarını elde etmemizi sağlar.

Bu iki koşulu sağlayan bir vektör kümesi, ilgili alt uzayın bazını oluşturur.

Kolon Uzayının Bazı

Bir matrisin kolon uzayı $\text{Col }A$, matrisin kolonlarının oluşturduğu ve tüm lineer kombinasyonların elde edilebildiği bir alt uzaydır. Kolon uzayının bazını bulmak için şu adımları izleriz:

1. Matrisin Satır Eşlenik Hale Getirilmesi (Row Reduction): Matrisimizi satır indirgeme işlemleriyle satır indirgenmiş satır-eselon formuna (Reduced Row Echelon Form) dönüştürürüz.

2. Pivot Pozisyonlarının Belirlenmesi: Eşlenik matrisimizdeki pivot pozisyonlarının bulunduğu sütunları belirleriz.

3. Orijinal Matristen Baz Vektörlerinin Seçilmesi: Pivot sütunlara karşılık gelen orijinal matrisin kolonları, kolon uzayının bazını oluşturur.

Örnek

Verilen bir matris olsun:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 6 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

1. Satır Eşlenik Hale Getirme: Matrisimizi satır indirgeme işlemleriyle sadeleştiririz.

2. Pivot Sütunları Belirleme: Satır eşlenik matrisimizde pivot pozisyonlarının birinci ve üçüncü sütunlarda olduğunu varsayalım.

3. Baz Vektörlerini Seçme: Orijinal matrisimizden birinci ve üçüncü sütunları seçeriz:

$$\text{Baz} = \left\{ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} \right\}$$

Bu vektörler, kolon uzayının bazını oluşturur.

Satır Uzayının Bazı

Bir matrisin satır uzayı $\text{Row }A$, matrisin satırlarının oluşturduğu alt uzaydır. Satır uzayının bazını bulmak için, genellikle matrisin transpozesi alınarak kolon uzayının bazı bulunur.

1. Matrisin Transpozesini Almak: $A^\top$ matrisini elde ederiz.

2. Transpoze Matrisin Kolon Uzayının Bazını Bulmak: Yukarıda kolon uzayı için izlediğimiz adımları uygularız.

3. Baz Vektörlerini Seçme: Orijinal matrisimizin satırlarına karşılık gelen satır vektörlerini baz olarak kullanırız.

Örnek

Matrisimizin transpozesi:

$$A^\top = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 6 & -2 & -4 \\ -1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

Satır indirgeme ve pivot sütunları belirleme işlemlerinden sonra, satır uzayının bazını belirleriz.

Null Uzayının Bazı

Null uzayı $\text{Nul }A$, homojen denklemler sistemi $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$'nın çözüm kümesidir. Null uzayının bazını bulmak için:

1. Homojen Denklem Sistemini Yazmak: $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini kurarız.

2. Eşlenik Matris Oluşturmak: Augmented matrix'i kullanarak $[A | \mathbf{0}]$ matrisini oluştururuz.

3. Serbest Değişkenleri Belirlemek: Satır indirgeme sonrası pivot olmayan sütunlar serbest değişkenlerdir.

4. Genel Çözümü Bulmak: Serbest değişkenler cinsinden temel çözümleri yazarız.

5. Baz Vektörlerini Belirlemek: Temel çözümleri kullanarak null uzayının bazını elde ederiz.

Örnek

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemi için çözüm adımları:

1. Eşlenik Matris:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \\ 2 & -4 & 5 & 0 \\ \end{array} \right]$$

2. Satır İndirgeme: Matrisimizi sadeleştiririz.

3. Serbest Değişkenler: $x_2$ ve $x_4$ serbest değişkenler olsun.

4. Genel Çözüm:

$$\mathbf{x} = x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

5. Baz Vektörleri:

$$\text{Baz} = \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

Rank-Nulite Teoremi

Bir matrisin rank'ı (sırası), kolon uzayının boyutuna eşittir. Rank-Nulite Teoremi, bir matrisin kolon sayısı ($n$), rank'ı ($\text{rank }A$) ve null uzayının boyutu ($\text{dim Nul }A$) arasında şu ilişkiyi kurar:

$$\text{rank }A + \text{dim Nul }A = n$$

Bu teorem, matrisin temel özelliklerini anlamamızda önemli bir rol oynar.

Örnek

Varsayalım ki matrisimizin rank'ı $2$ ve $4$ kolonlu bir matris. O zaman:

$$2 + \text{dim Nul }A = 4 \implies \text{dim Nul }A = 2$$

Özet

• Bazis, bir alt uzayın lineer bağımsız ve o alt uzayı geren vektör kümesidir.
• Kolon Uzayının Bazı, matrisin pivot kolonlarına karşılık gelen orijinal kolonlardır.
• Satır Uzayının Bazı, matrisin transpozesinin kolon uzayının bazıdır.
• Null Uzayının Bazı, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denkleminin serbest değişkenler cinsinden temel çözümleridir.
• Rank-Nulite Teoremi, matrisin kolon sayısı, rank'ı ve null uzayının boyutu arasındaki ilişkiyi gösterir.

Bu kavramlar, lineer cebirde matrislerin ve alt uzayların derinlemesine anlaşılmasını sağlar. Uygulamalar ve pratik örneklerle bu konular daha da pekiştirilebilir.