Basis for General Subspaces

Lineer Cebir dersinde, genelleştirilmiş alt uzayların (subspace) basislerini (temel elemanlarını) bulmak önemli bir konudur. Özellikle, bize verilen bir alt uzayın basisini nasıl belirleyeceğimizi öğrenmek, vektör uzaylarını daha iyi anlamamıza yardımcı olur.

Alt Uzayların ve Basislerin Anlaşılması

Bir vektör uzayının alt uzayı (subspace), vektör uzayının özelliklerini taşıyan ve vektör uzayının bir kısmını oluşturan bir kümedir. Her alt uzayın bir basis'i (temel kümesi) vardır ve bu basis, alt uzayın tüm elemanlarını oluşturmak için kullanılabilecek lineer bağımsız vektörler kümesidir. Basis, aynı zamanda alt uzayın boyutunu (dimension) belirler.

Alt Uzayların Basisini Bulma Yöntemi

Alt uzayların basisini bulmak için genellikle şu adımları izleriz:

1. Vektörleri Değişkenlere Göre Ayırma: Alt uzayın tanımında yer alan vektörleri, içerdiği değişkenlere (örneğin, $x$, $y$, $z$) göre ayırırız.

2. Lineer Kombinasyon Biçimine Getirme: Vektörleri, değişkenlerin katsayılarını çekerek, değişkenlerin lineer kombinasyonu şeklinde yazarız.

3. Lineer Bağımsızlığı Kontrol Etme: Elde ettiğimiz vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını kontrol ederiz. Bu, basisimizin geçerli olup olmadığını belirler.

4. Basis ve Boyutu Belirleme: Lineer bağımsız vektörleri kullanarak basisimizi ve alt uzayın boyutunu belirleriz.

Örneklerle Alt Uzay Basisini Bulma

Örnek 1

Alt uzayımız $W = \{ (x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R} \}$ olsun. Bu alt uzayın basisini bulalım.

Çözüm:

Vektörümüz $(x, y, 0)$ şeklinde. $x$ ve $y$ değişkenlerini ayrı ayrı vektörlerin toplamı şeklinde yazabiliriz:

$$(x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0)$$

Burada iki vektör elde ettik: $(1, 0, 0)$ ve $(0, 1, 0)$. Bu vektörler lineer olarak bağımsızdır.

Basis:

$$B = \left\{ (1, 0, 0),\ (0, 1, 0) \right\}$$

Boyut:

Alt uzayın boyutu $2$'dir, çünkü basis $2$ vektörden oluşuyor.

Örnek 2

Alt uzayımız $W = \{ (x - y,\ x + y,\ x,\ 2x) \mid x, y \in \mathbb{R} \}$ olsun. Basisini bulalım.

Çözüm:

Vektörü değişkenlere göre ayıralım:

$$\begin{align*} (x - y,\ x + y,\ x,\ 2x) &= x(1,\ 1,\ 1,\ 2) + y(-1,\ 1,\ 0,\ 0) \end{align*}$$

Elde ettiğimiz vektörler:

• $v_1 = (1,\ 1,\ 1,\ 2)$
• $v_2 = (-1,\ 1,\ 0,\ 0)$

Bu vektörlerin lineer bağımsızlığını kontrol edelim.

Lineer Bağımsızlık Kontrolü:

İki vektörün skaler katlarının toplamının sıfır vektörünü verdiği durumda, katsayıların da sıfır olması gerekir. Bu şart sağlanıyorsa vektörler lineer bağımsızdır.

Basis:

$$B = \left\{ (1,\ 1,\ 1,\ 2),\ (-1,\ 1,\ 0,\ 0) \right\}$$

Boyut:

Alt uzayın boyutu yine $2$'dir.

Örnek 3

Alt uzayımız $W = \{ (a,\ b,\ a,\ b) \mid a, b \in \mathbb{R} \}$ olsun. Basisini bulalım.

Çözüm:

Vektörü şöyle yazabiliriz:

$$(a,\ b,\ a,\ b) = a(1,\ 0,\ 1,\ 0) + b(0,\ 1,\ 0,\ 1)$$

Elde ettiğimiz vektörler:

• $v_1 = (1,\ 0,\ 1,\ 0)$
• $v_2 = (0,\ 1,\ 0,\ 1)$

Bu vektörler lineer olarak bağımsızdır.

Basis:

$$B = \left\{ (1,\ 0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0,\ 1) \right\}$$

Boyut:

Alt uzayın boyutu $2$'dir.

Örnek 4

Alt uzayımız $W = \{ (a,\ b,\ c,\ d) \mid d = a + 2b - 3c,\ a, b, c \in \mathbb{R} \}$ olsun. Basisini bulalım.

Çözüm:

$d$'yi yerine yazarak vektörümüzü ifade edelim:

$$(a,\ b,\ c,\ a + 2b - 3c)$$

Değişkenleri ayrı vektörlere ayıralım:

$$\begin{align*} (a,\ b,\ c,\ a + 2b - 3c) &= a(1,\ 0,\ 0,\ 1) + b(0,\ 1,\ 0,\ 2) + c(0,\ 0,\ 1,\ -3) \end{align*}$$

Elde ettiğimiz vektörler:

• $v_1 = (1,\ 0,\ 0,\ 1)$
• $v_2 = (0,\ 1,\ 0,\ 2)$
• $v_3 = (0,\ 0,\ 1,\ -3)$

Lineer Bağımsızlık Kontrolü:

Vektörlerin lineer bağımsızlığını kontrol etmek için matrisi oluşturalım ve satır indirgeme (row reduction) uygulayalım:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix}$$

Satır işlemleri sonucunda her sütunda pivot pozisyonu olduğunu görürüz. Bu da vektörlerin lineer bağımsız olduğunu gösterir.

Basis:

$$B = \left\{ (1,\ 0,\ 0,\ 1),\ (0,\ 1,\ 0,\ 2),\ (0,\ 0,\ 1,\ -3) \right\}$$

Boyut:

Alt uzayın boyutu $3$'tür.

Lineer Bağımsızlığın Önemi

Alt uzayın basisini belirlerken, elde ettiğimiz vektörlerin lineer bağımsız olması kritiktir. Eğer vektörler lineer bağımlı ise, bağımlı olanları basis'ten çıkarmalıyız. Bu nedenle, her zaman vektörlerin lineer bağımsızlığını kontrol etmeliyiz.

Lineer Bağımsızlığı Kontrol Etmek İçin:

• Matris Oluşturma: Vektörleri sütun olarak bir matrise yerleştiririz.
• Satır İndirgeme: Matrise satır işlemleri uygulayarak satır-eselon formuna getiririz.
• Pivot Pozisyonları: Her sütunda pivot pozisyonu varsa, vektörler lineer bağımsızdır.

Sonuç

Alt uzayların basislerini bulmak, vektör uzaylarının yapısını anlamak için temel bir beceridir. Vektörleri değişkenlere göre ayırarak, lineer kombinasyonlar şeklinde ifade edebilir ve lineer bağımsız vektörlerden oluşan bir basis belirleyebiliriz. Bu süreçte dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, elde ettiğimiz vektörlerin lineer bağımsız olmasıdır. Böylece, alt uzayın boyutunu ve temel elemanlarını doğru bir şekilde belirleyebiliriz.