Basis for Kernel and Range

Linear Cebir dersinde, lineer transformasyonlar ve bunların kernel ve range kavramları önemli bir yer tutar. Bu makalede, lineer transformasyonların temel özelliklerini, transformasyon matrisinin nasıl bulunduğunu ve kernel (çekirdek) ile range (görüntü) alt uzaylarının bazısının nasıl belirlendiğini inceleyeceğiz.

Lineer Transformasyonların Özellikleri

Bir transformasyonun lineer olması için iki temel özelliği sağlaması gerekmektedir:

1. Toplamanın Korunumu (Additivity):

   $$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\mathbf{u} + T\mathbf{v}$$

   Yani, iki vektörün toplamının transformasyonu, bu vektörlerin transformasyonlarının toplamına eşittir.

2. Homojenlik (Homogeneity):

   $$T(c\mathbf{u}) = c\,T\mathbf{u}$$

   Burada $c$ bir skaler, $\mathbf{u}$ ise bir vektördür. Skaler çarpımın transformasyonu, transformasyonun skaler ile çarpımına eşittir.

Bu iki özellik sağlandığında, transformasyonumuz lineer bir transformasyondur.

Transformasyon Matrisi (A) ve Nasıl Bulunur

Her lineer transformasyon $T$ bir matrise karşılık gelir ve bu matris $A$ ile gösterilir. Transformasyon matrisi $A$, şu şekilde bulunur:

1. Standart Bazis Vektörlerini Kullanma:

   Standart bazis vektörleri $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$'i transformasyonun içine koyarız. Örneğin, $\mathbb{R}^2$'de:

   $$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

2. Transformasyonları Hesaplama:

   Bu vektörlerin transformasyonlarını buluruz:

   $$T\mathbf{e}_1, \quad T\mathbf{e}_2, \quad \dots, \quad T\mathbf{e}_n$$

3. Matrisi Oluşturma:

   Transformasyon matrisi $A$, bu transformasyonların sütunlarından oluşur:

   $$A = \begin{bmatrix} T\mathbf{e}_1 & T\mathbf{e}_2 & \dots & T\mathbf{e}_n \end{bmatrix}$$

Bu yöntemle, transformasyon matrisini kolayca elde edebiliriz.

Kernel ve Range Kavramları

Bir lineer transformasyon $T: V \rightarrow W$ için:

• Kernel (Çekirdek):

  $$\operatorname{Ker}(T) = \{ \mathbf{v} \in V \mid T\mathbf{v} = \mathbf{0} \}$$

  Transformasyonun sıfıra götürdüğü tüm vektörlerin kümesidir ve $V$'nin bir alt uzayıdır.

• Range (Görüntü):

  $$\operatorname{Range}(T) = \{ T\mathbf{v} \mid \mathbf{v} \in V \}$$

  Transformasyon sonucu elde edilen vektörlerin kümesidir ve $W$'nin bir alt uzayıdır.

Null A ve Kernel of T'nin Bağlantısı

Bir matrisin null space'i (Null A), $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini sağlayan tüm $\mathbf{x}$ vektörlerinden oluşur. Lineer transformasyonun kernel'i ile matrisin null space'i aynıdır:

$$\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{Null}(A)$$

Col A ve Range of T'nin Bağlantısı

Matris $A$'nın column space'i (Col A), $A$'nın sütunlarının tüm lineer kombinasyonlarından oluşan uzaydır. Bu uzay, transformasyonun range'i ile aynıdır:

$$\operatorname{Range}(T) = \operatorname{Col}(A)$$

Rank ve Nullity Teoremi

Rank ve Nullity teoremi, bir matrisin rank'ı (sütun uzayının boyutu) ile nullity'si (null uzayın boyutu) arasındaki ilişkiyi ifade eder:

$$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n$$

Burada $n$, matris $A$'nın sütun sayısıdır. Bu teorem, transformasyonun kernel ve range'inin boyutları arasındaki ilişkiyi de gösterir:

$$\dim(\operatorname{Ker}(T)) + \dim(\operatorname{Range}(T)) = n$$

Örneklerle Kernel ve Range Bazısı Bulma

Şimdi, bu kavramları örneklerle pekiştirelim.

Örnek 1: Polinomlardan $\mathbb{R}^2$'ye Lineer Transformasyon

Transformasyonumuz olsun:

$$T: P_2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$

Burada $P_2$, derecesi en çok 2 olan polinomların uzayıdır. Transformasyonumuz şöyle tanımlanıyor:

$$T\big(p(t)\big) = \begin{bmatrix} p(0) \\ p(-1) \end{bmatrix}$$

Yani:

• $p(t)$ polinomunda $t = 0$ değerini alıp ilk koordinata koyuyoruz.
• $t = -1$ değerini alıp ikinci koordinata koyuyoruz.

Kernel'in Bazısını Bulalım:

Kernel, $T\big(p(t)\big) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ olacak polinomlardan oluşur.

Genel bir polinom yazalım:

$$p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2$$

Transformasyonu uygulayalım:

1. $p(0) = a_0$
2. $p(-1) = a_0 - a_1 + a_2$

Bu değerlerin sıfır olması gerekir:

1. $a_0 = 0$
2. $a_0 - a_1 + a_2 = 0 \implies -a_1 + a_2 = 0$

Buradan $a_1 = a_2$ elde ederiz.

Kernel polinomları:

$$p(t) = a_1 t + a_1 t^2 = a_1 (t + t^2)$$

Dolayısıyla, kernel'in bazısı:

$$\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{span}\{ t + t^2 \}$$

Örnek 2: Transformasyonun Range'ini Belirleme

Transformasyon sonucu elde edilen vektörler:

$$T\big(p(t)\big) = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_0 - a_1 + a_2 \end{bmatrix}$$

Bu vektörü, katsayılar cinsinden ayırabiliriz:

$$T\big(p(t)\big) = a_0 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_1 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Bu üç vektörün spanı, range'in bazısını verir:

$$\operatorname{Range}(T) = \operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

Örnek 3: Türev İçeren Bir Transformasyon

Transformasyonumuz olsun:

$$T: P_2 \rightarrow P_1$$

Ve tanımlansın:

$$T\big(p(t)\big) = p'(t) - t\,p''(t)$$

Genel polinomumuz:

$$p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2$$

Birinci türev:

$$p'(t) = a_1 + 2a_2 t$$

İkinci türev:

$$p''(t) = 2a_2$$

Transformasyon sonucu:

$$T\big(p(t)\big) = \big( a_1 + 2a_2 t \big) - t (2a_2) = a_1$$

Görüyoruz ki transformasyon sonucunda sadece $a_1$ kalıyor.

Kernel'in Bazısını Bulalım:

$T\big(p(t)\big) = 0$ olacak şekilde $p(t)$ polinomları:

$$a_1 = 0$$

Genel polinomumuz:

$$p(t) = a_0 + a_2 t^2$$

Kernel'in bazısı:

$$\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{span}\{ 1, t^2 \}$$

Range'in Boyutu ve Bazısı:

Transformasyonun sonucu sadece $a_1$ olduğundan, range bir boyutludur ve bazisi $\{1\}$'dir:

$$\operatorname{Range}(T) = \operatorname{span}\{ 1 \}$$

Özet

Lineer transformasyonların kernel ve range'ini bulmak, bu transformasyonların tanımını ve özelliklerini doğru anlamayı gerektirir. Kernel, transformasyonun sıfıra götürdüğü vektörlerin alt uzayıdır ve bazısını bulmak için transformasyon denklemini sıfıra eşitleriz. Range ise, transformasyon sonucu elde edilen vektörlerin alt uzayıdır ve bu uzayın bazısı, transformasyonun çıktısının spanı alınarak bulunur. Rank ve Nullity teoremi, kernel ve range'in boyutları arasındaki ilişkiyi belirler.

Bu kavramları anlamak, lineer cebirdeki daha ileri konuları kavramak için sağlam bir temel oluşturur. Pratik örnekler üzerinde bu yöntemleri uygulayarak, lineer transformasyonlar ve onların kernel ve range bazısını bulma becerimizi geliştirebiliriz.