Basis for Null, Column and Row Spaces

Lineer cebirde, alt uzayların bazı ("basis for subspace") kavramı, vektör uzaylarını ve onların alt uzaylarını anlamak için temel bir araçtır. Bir vektör uzayının veya alt uzayın bazı, o uzaydaki tüm vektörleri ifade edebilmemizi sağlayan en küçük ve en etkili vektör kümesidir.

Alt Uzayların Bazı Nedir?

Bir alt uzayın bazı, iki temel koşulu sağlayan bir vektör kümesidir:

1. Lineer Bağımsızlık (Linear Independence): Bazdaki vektörler birbirlerinden bağımsız olmalıdır; yani, bu vektörlerden herhangi biri diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde ifade edilememelidir.

2. Alt Uzayı Germe (Spanning the Subspace): Bazdaki vektörlerin tüm olası lineer kombinasyonları, alt uzaydaki tüm vektörleri oluşturmalıdır. Bu, bazın alt uzayı "gerdiği" anlamına gelir.

Örneklerle Anlamak

$\mathbb{R}^2$ Uzayında Bir Baz

$\mathbb{R}^2$ düzlemini düşünelim. Standart baz olarak kabul edilen vektörler $e_1 = (1, 0)$ ve $e_2 = (0, 1)$'dir. Bu vektörler:

• Lineer bağımsızdırlar: Hiçbiri diğerinin katı değildir.
• $\mathbb{R}^2$'yi gererler: Bu vektörlerin tüm lineer kombinasyonları $\mathbb{R}^2$'deki her vektörü oluşturur.

Yani, $\{e_1, e_2\}$ kümesi $\mathbb{R}^2$ için bir bazdır.

Farklı Bazlar Mümkün mü?

Evet! $\mathbb{R}^2$ için pek çok farklı baz seçilebilir. Örneğin:

• $v_1 = (1, 0)$
• $v_2 = (3, 1)$

Bu vektörler de lineer bağımsızdır ve $\mathbb{R}^2$'yi gererler. Bu nedenle, $\{v_1, v_2\}$ da bir bazdır.

Kolon Uzayı ("Column Space") İçin Baz Bulma

Bir matrisin kolon uzayı, matrisin kolon vektörlerinin span ettiği alt uzaydır. Kolon uzayı için baz bulmak için şu adımları izleriz:

1. Matrisin Sütunlarını Kullanmak: Matrisin kolonlarını birer vektör olarak düşünürüz.

2. Lineer Bağımsızlığı İncelemek: Kolon vektörleri arasında lineer bağımlılık olup olmadığını belirlemek için matris azaltma (row reduction) yaparız.

3. Pivot Sütunları Seçmek: Azaltılmış matriste pivot olan sütunlar, orijinal matrisin sütunlarını temsil eder. Bu sütunlar lineer bağımsızdır ve kolon uzayını gererler.

Örnek

Verilen bir matris olsun:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 6 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \end{bmatrix}$$

Matris azaltma yaparak pivot sütunları belirleriz ve bu sütunlara karşılık gelen orijinal matrisin kolonları, kolon uzayının bazını oluşturur:

• Pivot sütunlar: 1. ve 3. sütunlar
• Baz: $\left\{ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} \right\}$

Satır Uzayı ("Row Space") İçin Baz Bulma

Satır uzayı, matrisin satır vektörlerinin span ettiği alt uzaydır. Satır uzayının bazını bulmak için:

1. Matrisin Transpozesini Almak: Satır ve sütunları yer değiştiririz.

2. Matris Azaltma Yapmak: Transpoze matris üzerinde azaltma işlemi uygularız.

3. Pivot Satırları Seçmek: Azaltılmış matristeki pivot satırların orijinal halindeki satırlar, satır uzayının bazını verir.

Örnek

Yine matrisimiz:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 6 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \end{bmatrix}$$

Transpozunu alalım ve azaltma işlemi uygulayalım. Pivot satırlara karşılık gelen orijinal matrisin satırları satır uzayının bazını oluşturur:

• Pivot satırlar: 1. ve 2. satırlar
• Baz: $\left\{ \begin{bmatrix} 3 & 6 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \right\}$

Null Uzayı ("Null Space") İçin Baz Bulma

Null uzayı, matris $A$ için $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini sağlayan tüm $\mathbf{x}$ vektörlerinin kümesidir. Bazını bulmak için:

1. Denklem Sistemi Kurmak: $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini yazın.

2. Matris Azaltma Yapmak: Augmented matrisi azaltarak serbest değişkenleri belirleyin.

3. Çözümleri Yazmak: Temel değişkenleri serbest değişkenler cinsinden ifade edin.

4. Baz Vektörlerini Bulmak: Serbest değişkenlere birer birim değer vererek baz vektörlerini elde edin.

Örnek

Denklemimiz:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Azaltma işlemi sonucunda elde ettiğimiz serbest değişkenler ve temel değişkenler ile null uzayın bazını buluruz. Örneğin, serbest değişkenler $x_2$ ve $x_4$ olsun. Çözümler:

$$\begin{align*} x_1 &= 2x_2 + x_4 \\ x_3 &= -2x_4 \end{align*}$$

Null uzayın baz vektörleri:

• $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
• $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

Rank-Nullity Teoremi

Bu teorem, bir matrisin rank'ı (sırası) ile nullity'si (null uzayın boyutu) arasında ilişki kurar:

$$\text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = \text{Sütun Sayısı} \ (n)$$

Örnek

Daha önceki örneğimizde:

• Rank$(A)$ (kolon uzayının boyutu): 2
• Nullity$(A)$ (null uzayın boyutu): 2
• Sütun sayısı: 4

Teorem doğrulanır:

$$2 + 2 = 4$$

Özet

Alt uzayların bazı, lineer bağımsız ve alt uzayı geren vektörlerden oluşur. Kolon uzayı, satır uzayı ve null uzayı için baz bulmak, matris azaltma ve pivot analizi ile mümkündür. Rank-nullity teoremi, bu kavramlar arasında önemli bir ilişki kurar ve matrislerin özelliklerini anlamamıza yardımcı olur.