Basis for Subspaces

Bazis Nedir?

Lineer cebirde, bir vektör uzayının veya alt uzayın bazisi (basis), o uzaydaki tüm vektörleri oluşturabilmemizi sağlayan en küçük ve en etkili vektör setidir. Bazis, aşağıdaki iki temel özelliğe sahip olmalıdır:

1. Lineer Bağımsızlık (Linearly Independent):

   • Bazisteki vektörler birbirlerinin lineer kombinasyonu olmamalıdır.
   • Hiçbir vektör, diğer vektörlerin katsayılarla çarpılıp toplanmasıyla elde edilememelidir.

2. Uzayı Gerektirir (Span):

   • Bazis vektörlerinin tüm olası lineer kombinasyonları, alt uzayın tüm vektörlerini kapsamalıdır.
   • Yani, uzayın herhangi bir vektörü, bazis vektörlerinin uygun katsayılarla çarpılıp toplanmasıyla elde edilebilir.

Örneklerle Bazis Kavramı

$\mathbb{R}^2$ Uzayında Bazis

Standart Bazis Vektörleri:

• $[1, 0]$
• $[0, 1]$

Bu vektörler:

• Lineer bağımsızdır, çünkü biri diğerinin katı değildir.
• $\mathbb{R}^2$ uzayını gerektirir, yani bu vektörlerin lineer kombinasyonlarıyla $\mathbb{R}^2$'deki her vektörü elde edebiliriz.

Alternatif Bazis Örnekleri:

• $[1, 0]$ ve $[3, 1]$
• $[2, 1]$ ve $[-1, 4]$

Bu vektör setleri de bazis olabilir, çünkü bazis koşullarını sağlarlar.

$\mathbb{R}^3$ Uzayında Bazis

Standart Bazis Vektörleri:

• $[1, 0, 0]$
• $[0, 1, 0]$
• $[0, 0, 1]$

Bu üç vektör:

• Lineer bağımsızdır.
• $\mathbb{R}^3$ uzayını gerektirir.

Matrislerde Bazis Bulma

Matrislerin kolon uzayı, satır uzayı ve null uzayı için bazis bulurken, genellikle satır indirgeme ve pivot pozisyonlarına odaklanırız.

Kolon Uzayı (Column Space) için Bazis

Adımlar:

1. Satır İndirgeme Yapma: Matris üzerinde satır indirgeme yaparak reduced row-echelon form elde ederiz.
2. Pivot Pozisyonlarını Belirleme: Pivot pozisyonlarının bulunduğu kolonları not ederiz.
3. Bazis Vektörlerini Seçme: Orijinal matristen pivot kolonlarına karşılık gelen kolonları bazis olarak alırız.

Örnek:

Matrisimiz:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 6 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

Satır indirgeme sonrası pivot pozisyonları 1. ve 3. kolonlarda olsun. Bazisimiz:

• $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
• $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

Satır Uzayı (Row Space) için Bazis

Adımlar:

1. Matrisin Transpozesini Almak: $A^T$ matrisini elde ederiz.
2. Satır İndirgeme Yapma: $A^T$ üzerinde satır indirgeme yaparız.
3. Pivot Pozisyonlarını Belirleme: Pivot satırlarını belirleriz.
4. Bazis Vektörlerini Seçme: Orijinal matristen pivot satırlarına karşılık gelen satırları bazis olarak alırız.

Null Uzayı (Null Space) için Bazis

Null uzayı, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denkleminin çözümlerinden oluşur.

Adımlar:

1. Genişletilmiş Matris Oluşturma: $[A|\mathbf{0}]$ şeklinde.
2. Satır İndirgeme Yapma: Matris üzerinde işlem yaparız.
3. Serbest ve Temel Değişkenleri Belirleme: Pivot pozisyonlarına göre.
4. Çözümleri Yazma: Serbest değişkenler cinsinden.
5. Bazis Vektörlerini Oluşturma: Çözümlerden bazis vektörleri çıkarırız.

Örnek:

Satır indirgeme sonrası, değişkenleri serbest ve temel olarak ayırırız. Çözümleri bulur ve bazisi belirleriz.

Dimensiyon ve Rank-Nullity Teoremi

Dimensiyon (Dimension):

• Bir alt uzayın bazisindeki vektörlerin sayısıdır.

Rank-Nullity Teoremi:

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Burada:

• $\text{rank}(A)$: Matrisin rankı (kolon uzayının dimensiyonu).
• $\text{nullity}(A)$: Null uzayının dimensiyonu.
• $n$: Matrisin kolon sayısı.

Örnek:

• Bir matrisin rankı $2$ ve kolon sayısı $4$ ise:

  $$\text{nullity}(A) = 4 - 2 = 2$$

• Bu, null uzayının dimensiyonunun $2$ olduğunu gösterir.

Önemli Notlar

• Standart Bazis: Birim vektörlerden oluşan bazistir ve genellikle matrislerdeki birim matrisin kolonlarıdır.
• Lineer Bağımsızlık Testi: Vektörlerin lineer bağımlı olup olmadığını belirlemek için satır indirgeme ve pivot pozisyonları kullanılır.
• Span ve Bazis İlişkisi: Bazis vektörlerinin spanı, alt uzayı tamamen kapsamalıdır.

Özet

Bazis kavramı, lineer cebirin temel taşlarından biridir. Bir alt uzayın bazisi, o uzayın yapısını ve özelliklerini anlamamıza yardımcı olur. Matrislerde bazis bulma yöntemleri, satır indirgeme ve pivot pozisyonlarını kullanmayı gerektirir. Rank-Nullity Teoremi ise matrislerin özelliklerini ve alt uzayların dimensiyonlarını ilişkilendirerek derin bir anlayış sağlar.