Basis for Subspaces (Null,Column,Row Spaces)

Lineer Cebir'de, matrislerin ve lineer denklem sistemlerinin analizinde Null Space (Çekirdek), Column Space (Sütun Uzayı) ve Row Space (Satır Uzayı) kavramları büyük önem taşır. Bu kavramları anlamak, alt uzayların yapısını ve matrislerin özelliklerini daha derinlemesine kavramamıza yardımcı olur.

Null Space (Çekirdek)

Null Space veya Kernel, bir matrisin $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemine çözüm olan tüm $\mathbf{x}$ vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Yani, $A$ matrisini $\mathbf{x}$ vektörüyle çarptığımızda sıfır vektörünü veren tüm $\mathbf{x}$ vektörleri, $A$ matrisinin null space'ini oluşturur.

Null space, bir alt uzaydır ve genellikle span biçiminde ifade edilir. Hatırlayacak olursak, bir önceki bölümde Alt Uzaylar (Subspaces) konusunu işlemiştik ve span biçiminde yazılabilen kümelerin alt uzay olduğunu söylemiştik. Aynı mantıkla, null space de bir alt uzaydır çünkü span biçiminde ifade edilebilir.

Örnek:

$A$ matrisinin null space'ini bulalım:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 & -5 \\ -2 & 7 & -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$$

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini çözmek için, matrisin row reduction işlemlerini yaparız ve değişkenleri serbest (free variables) ve pivot değişkenler olarak belirleriz.

Pivot pozisyonları: $x_1$ ve $x_3$

Serbest değişkenler: $x_2$ ve $x_4$

Elde ettiğimiz denklem sistemini çözüp, $\mathbf{x}$ vektörünü serbest değişkenler cinsinden ifade ederiz:

$$\mathbf{x} = x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

Buradan, null space'i span biçiminde yazabiliriz:

$$\text{Null } A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \right\}$$

Column Space (Sütun Uzayı)

Column Space, bir matrisin tüm sütunlarının olası tüm lineer kombinasyonlarını içeren kümedir. Yani, $A$ matrisinin sütunlarının oluşturduğu vektörlerin span'ı, $A$ matrisinin column space'ini verir.

Örnek:

$A$ matrisinin column space'ini bulalım:

$$A = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 & -4 \\ 1 & -2 & 3 & 5 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

Column space'i span biçiminde şöyle ifade ederiz:

$$\text{Col } A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \right\}$$

Burada, $A$ matrisinin tüm sütun vektörlerini alıp span içine koyduk. Böylece, $A$ matrisinin column space'ini tanımlamış olduk.

Row Space (Satır Uzayı)

Row Space, bir matrisin satırlarının olası tüm lineer kombinasyonlarını içeren kümedir. Row space'i bulmak için matrisin satırlarını kullanırız.

Row space ile column space arasında önemli bir ilişki vardır. Bir matrisin row space'i, o matrisin transpose'unun column space'ine eşittir:

$$\text{Row } A = \text{Col } A^\top$$

Örnek:

$A$ matrisinin row space'ini bulalım:

$$A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

Row space'i span biçiminde ifade ederiz:

$$\text{Row } A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \right\}$$

Burada, satır vektörlerini yan yana koyarak dört boyutlu vektörler elde ettik ve span içine aldık.

Örnek Problemler ve Çözümleri

Problem 1:

Verilen $A$ matrisi ve $\mathbf{x}$ vektörü için, $\mathbf{x}$ vektörü $\text{Col } A$'ya ait midir?

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 4 & -5 & 3 \\ -2 & 7 & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Çözüm:

$\text{Col } A$, $A$ matrisinin sütunlarının span'ıdır. $A$ matrisinin sütunları 3 boyutludur. $\mathbf{x}$ de 3 boyutlu bir vektör olduğuna göre, $\mathbf{x}$'in $\text{Col } A$'ya ait olma ihtimali vardır.

Bunu kontrol etmek için, aşağıdaki lineer denklem sistemini çözeriz:

$$c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Bu sistemi matris formunda yazıp çözdüğümüzde, eğer bir çözüm varsa $\mathbf{x}$, $\text{Col } A$'ya aittir. Gerekli işlemleri yaparak çözüme ulaştığımızda, sistemin tutarlı (consistent) olduğunu ve bir çözüm bulunduğunu görürüz. Dolayısıyla, $\mathbf{x}$ vektörü $\text{Col } A$'ya aittir.

---

Problem 2:

$\mathbf{y}$ vektörü $\text{Null } A$'ya ait midir?

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 4 & -5 & 3 \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$$

Çözüm:

$\text{Null } A$, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemini sağlayan tüm $\mathbf{x}$ vektörlerinden oluşur. Ancak, $\mathbf{y}$ vektörünün boyutu $(2 \times 1)$, $A$ matrisinin sütun sayısı ise 3'tür. Dolayısıyla, $A\mathbf{y}$ çarpımı tanımsızdır. Bu nedenle, $\mathbf{y}$ vektörü $\text{Null } A$'ya ait olamaz.

---

Problem 3:

$\mathbf{y}$ vektörü $\text{Col } A$'ya ait midir?

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 4 & -5 & 3 \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$$

Çözüm:

$\text{Col } A$, $A$ matrisinin sütunlarının span'ıdır. $A$ matrisinin sütunları 2 boyutludur ve $\mathbf{y}$ de 2 boyutlu bir vektördür.

Denklem sistemini yazalım:

$$c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$$

Bu sistemi çözdüğümüzde, eğer bir çözüm varsa $\mathbf{y}$, $\text{Col } A$'ya aittir. Gerekli matris işlemlerini yaparak sistemin tutarlı olduğunu ve bir çözüm bulunduğunu görürüz. Dolayısıyla, $\mathbf{y}$ vektörü $\text{Col } A$'ya aittir.

Özet

Bu makalede, Null Space (Çekirdek), Column Space (Sütun Uzayı) ve Row Space (Satır Uzayı) kavramlarını inceledik. Özetlemek gerekirse:

• Null Space (Çekirdek): $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ denklemine çözüm olan tüm $\mathbf{x}$ vektörlerinin span'ıdır.
• Column Space (Sütun Uzayı): $A$ matrisinin sütunlarının tüm olası lineer kombinasyonlarının span'ıdır.
• Row Space (Satır Uzayı): $A$ matrisinin satırlarının tüm olası lineer kombinasyonlarının span'ıdır ve $\text{Row } A = \text{Col } A^\top$ ilişkisinden yararlanılabilir.

Bu kavramları anlamak, lineer denklem sistemlerinin çözüm kümelerini ve matrislerin alt uzaylarını belirlemekte kritik öneme sahiptir. Çalışmalarınızda bu kavramları sıkça kullanacak ve lineer cebirin temel taşlarını daha iyi anlayacaksınız.