Bayes' Theorem & Independence

Toplam Olasılık Teoremi ve Bayes Teoremi ile Olasılığa Giriş

Olasılık teorisinde, Toplam Olasılık Teoremi ve Bayes Teoremi (Bayes' Theorem) temel kavramlardır. Bu teoremler, koşullu olasılıkları ve bu olasılıkların nasıl hesaplandığını anlamamıza yardımcı olur.

Toplam Olasılık Teoremi Nedir?

Toplam Olasılık Teoremi, bir olayın olasılığını, o olayın farklı koşullar altındaki olasılıklarının toplamı olarak hesaplar. Bu koşulların gerçekleşme olasılıklarıyla birlikte çarpılması gerektiğini belirtir.

Örnek: Voleybol Menajeri Problemi

Bir voleybol menajeriyiz ve önümüzdeki maçın zor veya kolay olma ihtimali var:

• Maçın zor olma ihtimali: $P(\text{Zor}) = 0.7$
• Maçın kolay olma ihtimali: $P(\text{Kolay}) = 0.3$

Ayrıca, maçın zorluk durumuna göre kaybetme olasılıklarımız:

• Maç zor ise kaybetme olasılığı: $P(\text{Kaybetme} \mid \text{Zor}) = 0.8$
• Maç kolay ise kaybetme olasılığı: $P(\text{Kaybetme} \mid \text{Kolay}) = 0.15$

Toplam kaybetme olasılığımızı nasıl hesaplarız?

Yanlış Yöntem: Basit Toplama

Basitçe $0.8 + 0.15 = 0.95$ şeklinde toplamak yanlıştır. Çünkü bu yaklaşım, koşulların gerçekleşme olasılıklarını dikkate almaz ve olasılık toplamı 1'i aşamaz.

Doğru Yöntem: Toplam Olasılık Teoremi

Toplam olasılık teoremi kullanarak:

$$\begin{align*} P(\text{Kaybetme}) &= P(\text{Kaybetme} \mid \text{Zor}) \times P(\text{Zor}) + P(\text{Kaybetme} \mid \text{Kolay}) \times P(\text{Kolay}) \\ &= (0.8 \times 0.7) + (0.15 \times 0.3) \\ &= 0.56 + 0.045 \\ &= 0.605 \end{align*}$$

Bu şekilde toplam kaybetme olasılığımızı $0.605$ olarak buluruz.

Benzer şekilde, kazanma olasılığımız:

$$\begin{align*} P(\text{Kazanma}) &= P(\text{Kazanma} \mid \text{Zor}) \times P(\text{Zor}) + P(\text{Kazanma} \mid \text{Kolay}) \times P(\text{Kolay}) \\ &= (0.2 \times 0.7) + (0.85 \times 0.3) \\ &= 0.14 + 0.255 \\ &= 0.395 \end{align*}$$

Toplam olasılıkların 1'e eşit olduğunu doğrulayabiliriz: $0.605 + 0.395 = 1$.

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılıklar

Bayes Teoremi, bir olayın ters koşullu olasılığını hesaplamamızı sağlar. Yani, bir sonucun gözlemlendiği durumda, bu sonucun belirli bir nedenden kaynaklanma olasılığını buluruz.

Örnek: COVID-19 Testleri

Bir COVID-19 testi düşünelim:

• Hasta biri teste girdiğinde, testin pozitif çıkma olasılığı: $P(\text{Pozitif} \mid \text{Hasta}) = 0.9$
• Sağlıklı biri teste girdiğinde, testin pozitif çıkma olasılığı (yalancı pozitif): $P(\text{Pozitif} \mid \text{Sağlıklı}) = 0.1$
• Toplumda hasta olma olasılığı: $P(\text{Hasta}) = 0.002 \ (yüzde\ 0.2)$
• Sağlıklı olma olasılığı: $P(\text{Sağlıklı}) = 0.998$

Testin pozitif çıkma olasılığını hesaplayalım:

$$\begin{align*} P(\text{Pozitif}) &= P(\text{Pozitif} \mid \text{Hasta}) \times P(\text{Hasta}) + P(\text{Pozitif} \mid \text{Sağlıklı}) \times P(\text{Sağlıklı}) \\ &= (0.9 \times 0.002) + (0.1 \times 0.998) \\ &= 0.0018 + 0.0998 \\ &= 0.1016 \end{align*}$$

Bayes Teoremi ile, test pozitif çıktığında kişinin hasta olma olasılığını bulabiliriz:

$$P(\text{Hasta} \mid \text{Pozitif}) = \frac{P(\text{Pozitif} \mid \text{Hasta}) \times P(\text{Hasta})}{P(\text{Pozitif})} = \frac{0.9 \times 0.002}{0.1016} \approx 0.0177$$

Yani, test pozitif olsa bile kişinin hasta olma olasılığı yaklaşık %1.77'dir.

Koşullu Olasılığın Formülü ve Uygulaması

Koşullu olasılığın temel formülü:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Bu formül, Toplam Olasılık Teoremi ile birleştiğinde, olayların olasılıklarını daha kapsamlı bir şekilde hesaplamamıza olanak tanır.

Örnek: James Bond ve Kumar Sistemi

James Bond, bir kumar oyununda aşağıdaki stratejiyi kullanıyor:

• İlk bahsi kazanırsa oyunu bırakıyor.
• İlk bahsi kaybederse ikinci bir bahis yapıyor.
• İkinci bahsi kazanırsa oyunu bırakıyor.
• İkinci bahsi de kaybederse oyunu kaybediyor.

Her bir bahsi kazanma olasılığı: $P(\text{Kazanma}) = \frac{1}{3}$

a) İlk raundu kaybettikten sonra kazanma ihtimali nedir?

İlk raundu kaybettiyse, ikinci raundu kazanma olasılığı:

$$P(\text{Kazanma} \mid \text{Kaybetti\ İlk\ Raund}) = \frac{1}{3}$$

b) James Bond'un genel kazanma olasılığı nedir?

Toplam kazanma olasılığını hesaplayalım:

$$\begin{align*} P(\text{Kazanma}) &= P(\text{Kazanma} \mid \text{Kazandı\ İlk\ Raund}) \times P(\text{Kazandı\ İlk\ Raund}) + P(\text{Kazanma} \mid \text{Kaybetti\ İlk\ Raund}) \times P(\text{Kaybetti\ İlk\ Raund}) \\ &= (1 \times \frac{1}{3}) + \left( \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \right) \\ &= \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \\ &= \frac{5}{9} \end{align*}$$

James Bond'un oyunu kazanma olasılığı $\frac{5}{9}$'dur.

Sonuç

Toplam Olasılık Teoremi ve Bayes Teoremi, olasılık hesaplamalarında güçlü araçlardır. Koşullu olayların ve bu olayların toplam olasılıklarına etkilerinin anlaşılması, gerçek dünya problemlerinin doğru bir şekilde analiz edilmesini sağlar.

Bu teoremleri kullanırken dikkat edilmesi gerekenler:

• Koşullu olasılıklar, koşulun gerçekleşme olasılığıyla çarpılmalıdır.
• Toplam Olasılık Teoremi, tüm olası koşulları ve bu koşullar altındaki olasılıkları kapsamalıdır.
• Bayes Teoremi, gözlemlenen bir sonucun altında yatan nedenlerin olasılıklarını günceller.

Bu kavramları anlamak, istatistik ve olasılık teorisinde derinleşmek için sağlam bir temel oluşturur.