Binomial Probability Distribution

Bu makalede, olasılık ve istatistikte önemli bir yere sahip olan Binom Dağılımı'nı inceleyeceğiz. Binom Dağılımı, belirli koşullar altında gerçekleşen iki sonuçlu (success veya failure) deneylerin incelenmesinde kullanılır.

Binom Dağılımına Giriş

Binom Dağılımı (Binomial Distribution), iki olası sonucu olan deneylerin belirli sayıda tekrarlanmasıyla elde edilen başarı sayılarının dağılımını ifade eder. Bu deneyler aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• İki Olası Sonuç: Her bir deneme sonucunda yalnızca iki olası sonuç vardır: başarı (success) veya başarısızlık (failure).
• Sabit Olasılık: Her bir deneme sırasında başarı olasılığı ($p$) sabittir.
• Bağımsız Denemeler: Denemeler birbirinden bağımsızdır; bir denemenin sonucu diğerini etkilemez.
• Belirli Sayıda Deneme: Deneme sayısı ($n$) önceden belirlenmiştir ve sabittir.

Bu koşullar sağlandığında, başarı sayısının dağılımı Binom Dağılımı ile modellenebilir.

Bernoulli Dağılımı ile İlişkisi

Bernoulli Dağılımı, $n = 1$ için özel bir Binom Dağılımı durumudur. Yani, tek bir denemenin sonucunu inceler. Binom Dağılımı ise Bernoulli Deneylerinin birden fazla kez tekrarlanmasıyla elde edilir.

Binom Dağılımı Formülleri

Binom Dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu (probability mass function) aşağıdaki gibidir:

$$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$$

Burada:

• $P(X = k)$: $k$ başarının elde edilme olasılığı
• $C(n, k)$: Kombinasyon, $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$
• $n$: Toplam deneme sayısı
• $k$: Başarı sayısı
• $p$: Başarı olasılığı
• $(1 - p)$: Başarısızlık olasılığı

Ortalama ve Varyans

• Ortalama (Mean):

$$\mu = n \cdot p$$

• Varyans (Variance):

$$\sigma^{2} = n \cdot p \cdot (1 - p)$$

• Standart Sapma (Standard Deviation):

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$

Uygulamalı Örnek

Bir mağazada çalışan satış elemanının, bir müşteriye satış yapma olasılığı $0.3$’tür. Bugün mağazaya $8$ müşteri gelmiştir. Bu durumda aşağıdaki soruları yanıtlayalım.

A) Tam olarak 2 müşteriye satış yapma olasılığı nedir?

Verilenler:

• Deneme sayısı ($n$): $8$
• Başarı olasılığı ($p$): $0.3$
• Başarı sayısı ($k$): $2$

Çözüm:

Öncelikle, başarısızlık olasılığını bulalım:

$$1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$$

Olasılığı hesaplayalım:

$$P(X = 2) = C(8, 2) \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^{8 - 2}$$

Kombinasyon değerini bulalım:

$$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8 - 2)!} = \frac{8!}{2!6!} = 28$$

Devam edelim:

$$P(X = 2) = 28 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^6$$

Hesaplama:

$$P(X = 2) = 28 \cdot 0.09 \cdot 0.117649 \approx 0.2965$$

Sonuç: Satış elemanının tam olarak 2 müşteriye satış yapma olasılığı yaklaşık $0.2965$'tir.

B) En fazla 6 müşteriye satış yapma olasılığı nedir?

Tanım:

En fazla 6 satış yapmak demek, $0$ ile $6$ arasında satış yapma durumlarını kapsar.

$$P(X \leq 6) = \sum_{k=0}^{6} P(X = k)$$

Çözüm:

Bu olasılığı hesaplamak için tek tek $P(X = k)$ değerlerini hesaplayıp toplamak uzun sürebilir. Bunun yerine toplam olasılığın $1$ olduğunu kullanabiliriz:

$$P(X \leq 6) = 1 - [P(X = 7) + P(X = 8)]$$

Ancak $P(X = 7)$ ve $P(X = 8)$ değerleri de küçük olduğu için onları hesaplamak daha pratik olabilir.

Alternatif olarak, Binom Dağılım Tablosu (Binomial Distribution Table) kullanabiliriz. Tabloda $n = 8$, $p = 0.3$ için $k$ değerlerine karşılık gelen kümülatif olasılıklar verilir.

Tablodan bakıldığında:

$$P(X \leq 6) = 0.999$$

Sonuç: En fazla 6 müşteriye satış yapma olasılığı $0.999$'dur.

C) En az 3 müşteriye satış yapma olasılığı nedir?

Tanım:

En az 3 satış yapmak demek, $3$ veya daha fazla satış yapma durumlarını kapsar.

$$P(X \geq 3) = \sum_{k=3}^{8} P(X = k)$$

Çözüm:

Toplam olasılığın $1$ olduğunu kullanarak:

$$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$$

Öncelikle $P(X \leq 2)$ değerini bulalım. Tablodan veya hesaplayarak:

$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

Tablodan:

$$P(X \leq 2) = 0.552$$

O halde:

$$P(X \geq 3) = 1 - 0.552 = 0.448$$

Sonuç: En az 3 müşteriye satış yapma olasılığı $0.448$'dir.

D) Ortalama ve Varyans Hesabı

• Ortalama (Mean):

$$\mu = n \cdot p = 8 \cdot 0.3 = 2.4$$

Satış elemanının ortalama olarak $2.4$ satış yapması beklenir.

• Varyans (Variance):

$$\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 8 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 1.68$$

• Standart Sapma (Standard Deviation):

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.68} \approx 1.296$$

Sonuç: Satış sayısının varyansı $1.68$, standart sapması ise yaklaşık $1.296$'dır.

Binom Dağılımının Özeti

• Binom Dağılımı, iki olası sonucu olan ve sabit olasılıkla gerçekleşen bağımsız denemelerin başarı sayısını modellemek için kullanılır.
• Formüller sayesinde olasılık, ortalama ve varyans hesaplamaları yapılabilir.
• Binom Dağılım Tablosu, kümülatif olasılıkları hızlıca bulmamıza yardımcı olur.
• Gerçek Yaşam Uygulamaları: Binom Dağılımı, satış tahminleri, kalite kontrol ve benzeri alanlarda geniş bir kullanım alanına sahiptir.

Bu makalede, Binom Dağılımı'nın temel özelliklerini ve uygulamalarını inceledik. Binom Dağılımı, hem teorik hem de pratik açıdan önemli bir istatistiksel araçtır ve çeşitli alanlarda karar verme süreçlerinde kullanılır.