Capacitance and Dielectrics

Kapasitans ve Kapasitörler

Kapasitans, elektrik yükünü depolama kapasitesini ifade eden bir kavramdır. Bir kapasitör (capacitor), elektrik yüklerini biriktirebilen ve depolayabilen bir cihazdır. Türkçede "sığaç" olarak da bilinir. Kapasitörler, elektrik devrelerinde enerji depolamak, filtreleme yapmak ve çeşitli diğer amaçlar için kullanılır.

Paralel Levha Kapasitörü

En temel kapasitör tipi, paralel levha kapasitörüdür. İki iletken levha arasında bir elektrik alan oluşturulur. Bu levhalar arasındaki mesafe $d$, levhaların yüzey alanı $A$ ile ifade edilir.

Levhalardan biri pozitif (+) yükle yüklenirken, diğeri negatif (–) yükle yüklenir. Bu yük dağılımı, levhalar arasında uniform bir elektrik alanı $E$ oluşturur. Eğer levhalar bir bataryaya bağlanmışsa, bataryanın sağladığı potansiyel fark $V$ olarak belirtilir.

Paralel levha kapasitörünün kapasitansı $C$, şu şekilde hesaplanır:

$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$$

Burada:

• $\varepsilon_0$: Boşluğun elektriksel geçirgenlik katsayısı (permitivite) olup, yaklaşık $8.85 \times 10^{-12} \,\text{F/m}$ değerindedir.

• $A$: Levhaların yüzey alanı

• $d$: Levhalar arasındaki mesafe

Bu formülden de görüldüğü gibi:

• Levhaların yüzey alanı $A$ artırıldığında, kapasitans $C$ artar.

• Levhalar arasındaki mesafe $d$ artırıldığında, kapasitans $C$ azalır.

Dielektrik Malzeme ve Kapasitans

Levhalar arasındaki boşluğa bir dielektrik (dielectric) yani yalıtkan bir malzeme yerleştirildiğinde, kapasitans değerinde önemli bir artış olur. Dielektrik malzemenin elektriksel geçirgenlik katsayısı $\kappa$ (dielektrik sabiti) ile ifade edilir.

Dielektrik malzemeli bir kapasitörün kapasitansı şu şekilde hesaplanır:

$$C = \kappa \varepsilon_0 \frac{A}{d}$$

Burada $\kappa$, malzemenin dielektrik sabitidir ve boşluk için $\kappa = 1$'dir. Dielektrik malzeme kullanarak kapasitansı $\kappa$ katı kadar artırmış oluruz.

Bu durumda, dielektrik malzemenin varlığı kapasitörün daha fazla elektrik yükü depolamasını sağlar.

Kapasitörlerin Bağlanması

Elektrik devrelerinde kapasitörler farklı şekillerde bağlanarak toplam kapasitans değiştirilir. İki temel bağlantı tipi vardır: paralel ve seri bağlantı.

Paralel Bağlı Kapasitörler

Paralel bağlı kapasitörlerde, kapasitörlerin uçları aynı noktaya bağlanır. Bu durumda, her bir kapasitörün üzerindeki potansiyel farkı $V$ aynıdır:

$$V_1 = V_2 = V_3 = V$$

Toplam yük $Q$, her bir kapasitörde depolanan yüklerin toplamına eşittir:

$$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3$$

Her bir kapasitör için $Q_i = C_i V$ olduğundan, toplam kapasitans $C_{\text{eq}}$ şu şekilde bulunur:

$$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3$$

Yani, paralel bağlı kapasitörlerin eşdeğer kapasitansı, kapasitans değerlerinin toplamına eşittir.

Seri Bağlı Kapasitörler

Seri bağlı kapasitörlerde, kapasitörler ardışık olarak bağlanır ve aynı akım yolu üzerindedirler. Bu durumda, her bir kapasitör üzerinden geçen yük $Q$ aynıdır:

$$Q = Q_1 = Q_2 = Q_3$$

Toplam potansiyel fark ise kapasitörler üzerindeki potansiyel farkların toplamına eşittir:

$$V = V_1 + V_2 + V_3$$

Her bir kapasitör için $V_i = \dfrac{Q}{C_i}$ olduğundan, toplam potansiyel fark için:

$$V = Q \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} \right)$$

Eşdeğer kapasitans $C_{\text{eq}}$ için $V = \dfrac{Q}{C_{\text{eq}}}$ olduğundan, aşağıdaki ilişki elde edilir:

$$\dfrac{1}{C_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3}$$

Yani, seri bağlı kapasitörlerin eşdeğer kapasitansının tersi, kapasitans değerlerinin terslerinin toplamına eşittir.

Kapasitörde Depolanan Enerji

Bir kapasitör, elektrik enerjisini elektrik alan şeklinde depolar. Kapasitörde depolanan enerji $U$, aşağıdaki formüllerden herhangi biriyle hesaplanabilir:

1. Yük ve kapasitans cinsinden:

   $$U = \dfrac{1}{2} \dfrac{Q^2}{C}$$

2. Kapasitans ve gerilim cinsinden:

   $$U = \dfrac{1}{2} C V^2$$

3. Yük ve gerilim cinsinden:

   $$U = \dfrac{1}{2} Q V$$

Bu formüller birbirleriyle ilişkili olup, $Q = C V$ ilişkisi kullanılarak birbirine dönüştürülebilir. Hangisini kullanacağımız, elimizdeki verilere bağlıdır.

Örneğin, eğer kapasitans $C$ ve gerilim $V$ biliniyorsa, en pratik olanı $U = \dfrac{1}{2} C V^2$ formülüdür.

Sonuç

Kapasitans ve dielektrikler konusu, elektrik ve manyetizma alanının temel kavramlarından biridir. Kapasitörler, elektrik yüklerini depolayabilen ve bu sayede enerji depolama, filtreleme ve zamanlama gibi birçok uygulamada kullanılan temel devre elemanlarıdır.

Paralel ve seri bağlı kapasitörlerin eşdeğer kapasitanslarının hesaplanması, elektrik devrelerinin analizinde önemli bir yere sahiptir. Ayrıca, kapasitörde depolanan enerjinin hesaplanması, enerji depolama ve dönüşüm uygulamalarında kritiktir.

Bu konuları anlamak, ileri düzey elektronik ve fizik çalışmalarında sağlam bir temel oluşturur.