Center of Gravity

Statik konusundaki önemli kavramlardan biri de yerçekimi merkezi (Center of Gravity) ve centroid'dir. Ağırlık merkezi, bir cismin yerçekimsel kuvvetlerinin dengelendiği noktayı ifade ederken, centroid ise cismin geometrik merkezidir. Bu makalede, ağırlık merkezi, kütle merkezi (Center of Mass) ve centroid kavramlarını derinlemesine inceleyeceğiz.

Ağırlık ve Kütle Arasındaki Fark

Öncelikle ağırlık ($w$) ve kütle ($m$) arasındaki farkı netleştirelim:

• Kütle ($m$): Bir cismin içerdiği madde miktarıdır.
• Ağırlık ($w$): Kütlenin yerçekimi ivmesi ($g$) ile çarpımıdır.

$$w = m \times g$$

Bu nedenle, bir cismin ağırlığı bulunduğu gezegene göre değişkenlik gösterirken, kütlesi sabit kalır.

Ağırlık Merkezinin Hesaplanması

Bir cismin ağırlık merkezini bulmak için cismi sonsuz küçük parçalara böleriz. Her bir küçük parçanın ağırlığı $dw$ ve koordinatları $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ olsun. Burada tilde ($\tilde{}$) işareti, küçük parçaların özelliklerini ifade eder.

Ağırlık merkezinin koordinatları şu şekilde hesaplanır:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dw}{\int dw}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dw}{\int dw}, \quad \bar{z} = \frac{\int \tilde{z} \, dw}{\int dw}$$

Burada $\bar{x}$, cismin ağırlık merkezinin $x$ koordinatıdır ve benzer şekilde diğer eksenler için de hesaplanır.

Kütle Merkezinin Hesaplanması

Eğer yerçekimi ivmesi ($g$) sabit ise, ağırlık merkezi ile kütle merkezi aynı noktada bulunur. Çünkü her bir küçük parça için $dw = g \, dm$ yazabiliriz ve $g$ sabit olduğu için integrallerde sadeleşir.

Kütle merkezinin koordinatları:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dm}{\int dm}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dm}{\int dm}, \quad \bar{z} = \frac{\int \tilde{z} \, dm}{\int dm}$$

Yoğunluğun Sabit ve Değişken Olduğu Durumlar

Cismin yoğunluğu ($\rho$) sabit ise, kütle merkezi ve hacim merkezi (Centroid of a Volume) aynı olur. Ancak yoğunluk değişkense, kütle merkezi ile hacim merkezi farklı noktalarda bulunabilir.

Kütle ve hacim arasındaki ilişki:

$$dm = \rho \, dV$$

Burada $dV$, sonsuz küçük hacim elemanıdır. Eğer $\rho$ sabit değilse, integrallerde $\rho$ değişken olarak kalır ve sonuçlar farklılaşır.

Centroid Nedir?

Centroid, bir şeklin geometrik merkezidir ve şeklin malzeme özelliklerinden bağımsızdır. Bir alanın veya hacmin centroidini bulmak, şeklin simetrisine ve geometrisine bağlıdır.

Alanların Centroidinin Hesaplanması

Bir alanın centroidini bulmak için alanı sonsuz küçük elemanlara böleriz. İki ana yöntem vardır:

Dikey Şerit Yöntemi (Vertical Strip)

• Alan Elemanı ($dA$): $dA = h \, dx$
• Kalınlık: $dx$
• Yükseklik: $h$
• Centroid Koordinatları:
  • $\tilde{x} = x$
  • $\tilde{y} = \frac{h}{2}$

Yatay Şerit Yöntemi (Horizontal Strip)

• Alan Elemanı ($dA$): $dA = l \, dy$
• Kalınlık: $dy$
• Genişlik: $l$
• Centroid Koordinatları:
  • $\tilde{x} = \frac{l}{2}$
  • $\tilde{y} = y$

Centroid Hesaplama Adımları

1. Alan Elemanını Belirleme ($dA$): Problemin yapısına göre dikey veya yatay şerit seçilir.

2. Centroid Koordinatlarını Bulma ($\tilde{x}, \tilde{y}$): Seçilen şeridin merkez koordinatları belirlenir.

3. İntegral Formüllerini Uygulama:

   $$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dA}{\int dA}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dA}{\int dA}$$

4. İntegralleri Hesaplama: Tüm ifadeler $x$ veya $y$ cinsinden yazılır ve integraller çözülür.

Örnek Bir Uygulama

Bir fonksiyon altındaki alanın centroidini bulmak istediğimizi düşünelim. Fonksiyonumuz $y = f(x)$ şeklinde verilsin. Dikey şerit yöntemini kullanarak:

• Alan Elemanı ($dA$): $dA = h \, dx$
• Yükseklik ($h$): Fonksiyona bağlı olarak $h = y$
• Centroid Koordinatları:
  • $\tilde{x} = x$
  • $\tilde{y} = \frac{y}{2}$

İntegralleri uygulayarak centroidi buluruz.

Sonuç

Ağırlık merkezi, kütle merkezi ve centroid kavramları, statik ve mühendislik uygulamalarında kritik öneme sahiptir. Bu kavramları doğru anlayarak ve hesaplayarak, yapıların denge analizlerini ve tasarımlarını daha güvenilir hale getirebiliriz.