Center of Gravity and Centroid

Mekanikte Ağırlık Merkezi (Center of Gravity) ve Geometrik Merkez (Centroid) kavramlarını anlamak, mühendislik problemlerini çözmede kritik bir öneme sahiptir. Bu makalede, bu iki kavramı derinlemesine inceleyerek, pratik hesaplamalar ve formüllerle açıklayacağız.

Ağırlık ve Kütle Arasındaki Fark

Öncelikle, ağırlık (weight) ve kütle (mass) kavramlarını netleştirelim. Kütle, bir cismin sahip olduğu madde miktarını ifade eder ve $m$ ile gösterilir. Ağırlık ise, kütlenin yerçekimi ivmesiyle ($g$) çarpımı sonucu elde edilir ve $w$ ile gösterilir:

$$w = m \cdot g$$

Bu nedenle, bir cismin ağırlığı bulunduğu gezegene göre değişir, ancak kütlesi sabittir.

Ağırlık Merkezi (Center of Gravity)

Bir cismin ağırlık merkezi, yerçekimsel kuvvetlerin dengelendiği noktadır. Bu noktayı bulmak için cismi sonsuz küçük parçalara böleriz ve her bir parçanın ağırlık merkezini dikkate alırız.

Küçük bir parçanın ağırlığı $dw$, kütlesi $dm$ ve koordinatları $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ olsun. Bu durumda:

$$dw = dm \cdot g$$

Cismin toplam ağırlık merkezi koordinatları:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dw}{\int dw}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dw}{\int dw}, \quad \bar{z} = \frac{\int \tilde{z} \, dw}{\int dw}$$

Burada integraller, cismin tüm hacmi üzerinde alınır.

Kütle Merkezi (Center of Mass)

Eğer yerçekimi ivmesi ($g$) cisim boyunca sabitse, ağırlık merkezi ve kütle merkezi aynı noktada bulunur. Kütle merkezi hesaplanırken $dw$ yerine $dm$ kullanılır:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dm}{\int dm}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dm}{\int dm}, \quad \bar{z} = \frac{\int \tilde{z} \, dm}{\int dm}$$

Burada, $\tilde{x}$, $\tilde{y}$ ve $\tilde{z}$ her bir küçük parçanın koordinatlarıdır.

Yoğunluk Değişimi ve Kütle Merkezi

Eğer cismin yoğunluğu ($\rho$) konuma bağlı olarak değişiyorsa, kütle merkezi ile geometrik merkez (centroid) farklı noktalarda olabilir. Bu durumda, $dm = \rho \, dV$ kullanılarak hesaplama yapılır.

Geometrik Merkez (Centroid)

Geometrik merkez, cismin şekline bağlı olarak hesaplanan ve yoğunluğundan bağımsız bir noktadır. Hacim için centroid hesaplaması:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dV}{\int dV}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dV}{\int dV}, \quad \bar{z} = \frac{\int \tilde{z} \, dV}{\int dV}$$

Burada, $dV$ cismin sonsuz küçük hacim elemanıdır. Eğer yoğunluk sabitse, kütle merkezi ve geometrik merkez aynı noktadadır.

Bir Alanın Geometrik Merkezi (Centroid of an Area)

Alanlar için centroid hesaplaması, özellikle mekanik ve statik problemlerde sıklıkla karşımıza çıkar. Genel formüller:

$$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x} \, dA}{\int dA}, \quad \bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dA}{\int dA}$$

Burada, $dA$ sonsuz küçük alan elemanıdır.

Diferansiyel Alan Elemanı ($dA$) Seçimi

Dikey Şerit (Vertical Strip) Yöntemi:

• Kullanım Durumu: Fonksiyon $y = f(x)$ olarak verilmişse.
• Diferansiyel Alan: $dA = h \cdot dx$
• Hesaplama Adımları:
  1. Şeridin genişliği $dx$, yüksekliği $h$.
  2. $\tilde{x} = x$
  3. $\tilde{y}$, şeridin orta noktasının $y$ koordinatı.

Yatay Şerit (Horizontal Strip) Yöntemi:

• Kullanım Durumu: Fonksiyon $x = f(y)$ olarak verilmişse.
• Diferansiyel Alan: $dA = l \cdot dy$
• Hesaplama Adımları:
  1. Şeridin yüksekliği $dy$, uzunluğu $l$.
  2. $\tilde{y} = y$
  3. $\tilde{x}$, şeridin orta noktasının $x$ koordinatı.

$\tilde{x}$ ve $\tilde{y}$ Değerlerinin Belirlenmesi

• Dikey Şerit İçin:

  • $\tilde{x} = x$
  • $\tilde{y}$, şeridin orta noktasının $y$ koordinatı, genellikle $\tilde{y} = \frac{h}{2}$

• Yatay Şerit İçin:

  • $\tilde{y} = y$
  • $\tilde{x}$, şeridin orta noktasının $x$ koordinatı, genellikle $\tilde{x} = \frac{l}{2}$

Örnek Hesaplama

Bir eğri altında kalan alanın geometrik merkezini bulmak için adımlar:

1. Fonksiyonu Belirleyin: Örneğin $y = f(x)$.
2. Diferansiyel Alanı Seçin: Dikey veya yatay şerit yöntemini kullanın.
3. $\tilde{x}$ ve $\tilde{y}$'yi Belirleyin: Şeride göre koordinatları bulun.
4. İntegralleri Hesaplayın:
   • $\bar{x} = \frac{\int x \, dA}{\int dA}$
   • $\bar{y} = \frac{\int \tilde{y} \, dA}{\int dA}$

Sonuç

Ağırlık merkezi ve geometrik merkez kavramları, cisimlerin dengesi ve hareketi üzerinde doğrudan etkilidir. Bu kavramları anlamak ve doğru uygulamak, mühendislikte başarılı sonuçlar elde etmenin anahtarıdır. Doğru integral yöntemini seçmek ve uygun diferansiyel elemanları kullanmak, hesaplamaları kolaylaştırır ve hataları önler.