Central Limit Theorem

Merkezi Limit Teoremi Nedir?

Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem - CLT), istatistikte önemli bir kavramdır ve büyük örneklem sayılarıyla çalışırken bize çok yardımcı olur. Kısaca, örneklem sayısı (sample size) $n \geq 30$ olduğunda, popülasyonun dağılımı ne olursa olsun, örneklem ortalamalarının dağılımı normal dağılıma benzemeye başlar. Bu, normal dağılımın özelliklerini kullanarak farklı dağılımları analiz edebileceğimiz anlamına gelir.

Merkezi Limit Teoreminin Formülleri

CLT bize bazı önemli formüller sunar:

• Örneklem ortalamalarının ortalaması ($\mu_{\bar{x}}$), popülasyon ortalamasına ($\mu$) eşittir:

  $$\mu_{\bar{x}} = \mu$$

• Örneklem ortalamalarının varyansı ($\sigma^2_{\bar{x}}$), popülasyon varyansının ($\sigma^2$) $n$'e bölünmesine eşittir:

  $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n}$$

• Örneklem ortalamalarının standart sapması ($\sigma_{\bar{x}}$), popülasyon standart sapmasının ($\sigma$) $\sqrt{n}$'e bölünmesine eşittir:

  $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Bu formüller, popülasyondan alınan örneklemlerin istatistiksel özelliklerini anlamamıza yardımcı olur.

Örnek Problem: Uygulama

Bir örnek üzerinden Merkezi Limit Teoremi'ni inceleyelim.

Problem:

• Popülasyon 4000 sayıdan oluşuyor.
• Bu sayılar sadece 4 farklı değerden oluşuyor: 2, 4, 6 ve 8.
• Bu sayıların göreli frekansları (relative frequencies) şu şekilde:
  • 2: %10
  • 4: %20
  • 6: %30
  • 8: %40
• Bu popülasyondan 50 elemanlı örneklemler alıyoruz.
• $\bar{x}$, alınan bu 50 sayının ortalamasıdır.

Sorular:

a) $\bar{x}$'in standart sapmasını bulun.

b) $\bar{x} > 6.50$ olma olasılığı nedir?

Çözüm

a) $\bar{x}$'in Standart Sapması

İlk adım olarak, popülasyonun ortalamasını ($\mu$) ve standart sapmasını ($\sigma$) bulmalıyız.

Popülasyon Ortalaması ($\mu$):

Popülasyon ortalamasını bulmak için, her sayıyı onun göreli frekansı ile çarpıp topluyoruz:

$$\mu = (2 \times 0.10) + (4 \times 0.20) + (6 \times 0.30) + (8 \times 0.40)$$

Bu işlemi yaparsak:

$$\mu = (0.20) + (0.80) + (1.80) + (3.20) = 6$$

Popülasyon Varyansı ($\sigma^2$):

Varyansı bulmak için her sayının karesini onun göreli frekansı ile çarpıp topluyor, sonra da popülasyon ortalamasının karesini çıkarıyoruz:

$$\sigma^2 = [(2^2 \times 0.10) + (4^2 \times 0.20) + (6^2 \times 0.30) + (8^2 \times 0.40)] - \mu^2$$

Hesaplayalım:

1. Karesini alıp frekansla çarpıyoruz:

$$(4 \times 0.10) + (16 \times 0.20) + (36 \times 0.30) + (64 \times 0.40)$$

2. Hesaplayalım:

$$(0.40) + (3.20) + (10.80) + (25.60) = 40$$

3. $\mu^2$'yi çıkarıyoruz:

$$\sigma^2 = 40 - (6)^2 = 40 - 36 = 4$$

Popülasyon Standart Sapması ($\sigma$):

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4} = 2$$

$\bar{x}$'in Standart Sapması ($\sigma_{\bar{x}}$):

Merkezi Limit Teoremi'ne göre:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{50}}$$

Hesaplayalım:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{2}{7.07} \approx 0.28$$

b) $\bar{x} > 6.50$ Olasılığı

Bu soruyu cevaplamak için Normal Dağılım özelliklerini kullanacağız.

Z-Skorunu Hesaplayalım:

$$Z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{6.50 - 6}{0.28} = \frac{0.50}{0.28} \approx 1.79$$

Standart Normal Dağılım Tablosunu Kullanarak Olasılığı Bulalım:

• $Z = 1.79$ için standart normal dağılım tablosundan değeri buluyoruz.
• Tablo bize $Z = 1.79$ için $0.4633$ değerini verir.
• Bu değer, ortalamadan $Z$ standart sapma sağa olan alanı gösterir.

Toplam Olasılığı Hesaplayalım:

• Normal dağılım simetriktir, bu nedenle toplam alan $1$'dir.
• $\bar{x} > 6.50$ olma olasılığı, sağ kuyruktaki alandır:

$$P(\bar{x} > 6.50) = 0.5 - 0.4633 = 0.0367$$

Yani, $\bar{x}$'in 6.50'den büyük olma olasılığı yaklaşık %3.67'dir.

Sonuç

Merkezi Limit Teoremi, büyük örneklem sayılarıyla çalışırken, popülasyon dağılımı ne olursa olsun örneklem ortalamalarının dağılımının normal dağılıma yaklaşacağını belirtir. Bu sayede, örneklem ortalamalarının standart sapmasını ve olasılıklarını hesaplayabiliriz.

Örnek problemimizde, popülasyondan alınan 50 elemanlı örneklemlerin ortalamalarının standart sapmasını bulduk ve bu ortalamaların belirli bir değerden büyük olma olasılığını hesapladık. Bu, CLT'nin pratik bir uygulamasıdır ve istatistiksel analizlerde ne kadar faydalı olduğunu gösterir.