The Derivative as a Rate of Change

Matematikte türev kavramı, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki "değişim hızını" temsil eder. Bu kavramı geometrik olarak anlamak, fonksiyonların davranışını ve eğrilerin eğimlerini daha derinlemesine kavramamıza yardımcı olur. Bu yazıda, türevin geometrik yorumunu ve bir fonksiyona teğet ve normal doğruların denklemlerini nasıl bulabileceğimizi inceleyeceğiz.

Doğrunun Denklemini Hatırlayalım

Bir doğrunun denklemini yazmak için iki temel bilgiye ihtiyacımız vardır:

• Eğim (Slope): Doğrunun eğimi $m$.
• Bir Nokta (Point): Doğrunun geçtiği $(x_0, y_0)$ noktası.

Doğrunun denklemi şu şekilde yazılabilir:

$$y - y_0 = m (x - x_0)$$

Bu denklem, eğimi $m$ olan ve $(x_0, y_0)$ noktasından geçen doğrunun denklemini verir.

Eğimin Hesaplanması

Eğim, iki nokta arasındaki dikey ve yatay değişimlerin oranıdır. İki nokta $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ verildiğinde eğim şu şekilde hesaplanır:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Örnek: $(3, 5)$ ve $(7, 11)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

$$m = \frac{11 - 5}{7 - 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Eğim $m = \frac{3}{2}$ bulunduğuna göre, doğrunun denklemi:

$$y - 5 = \frac{3}{2} (x - 3)$$

Türevi Geometrik Olarak Anlamak

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada çizilen teğetin eğimini verir. Yani, fonksiyon $y = f(x)$ ise, $x = x_1$ noktasındaki teğetin eğimi $f'(x_1)$ olur.

Türevin tanımı limitle ifade edilir:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Bu limit, fonksiyonun $x$ noktasındaki anlık değişim hızını, yani teğetin eğimini temsil eder.

Teğet ve Normal Doğruları

Teğet Doğrusu

Bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğet doğrusunun denklemini yazmak için:

• Eğim (Teğet Eğimi): $m = f'(x_1)$
• Geçtiği Nokta: $(x_1, y_1)$, burada $y_1 = f(x_1)$

Teğet doğrusunun denklemi:

$$y - y_1 = f'(x_1) (x - x_1)$$

Normal Doğrusu

Normal doğrusu, teğet doğrusuna dik olan doğrudur. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$'dir. Bu nedenle, normal doğrusunun eğimi $n$:

$$n = -\frac{1}{f'(x_1)}$$

Normal doğrusunun denklemi:

$$y - y_1 = -\frac{1}{f'(x_1)} (x - x_1)$$

Örnekler

Örnek 1: Teğet Doğrusunu Bulma

Verilen fonksiyon:

$$f(x) = 2x^2 - 13x + 5$$

Teğet eğiminin $-1$ olduğu noktayı bulalım.

Öncelikle türevi alalım:

$$f'(x) = 4x - 13$$

Teğet eğimi $f'(x) = -1$ olduğundan:

$$4x - 13 = -1 \\ 4x = 12 \\ x = 3$$

$x = 3$ için $y$ değerini bulalım:

$$y = f(3) = 2(3)^2 - 13(3) + 5 = 18 - 39 + 5 = -16$$

Teğet doğrusunun denklemi:

$$y - (-16) = (-1)(x - 3) \\ y + 16 = -x + 3 \\ x + y - 13 = 0$$

Örnek 2: Teğet ve Normal Doğrularını Bulma

Verilen fonksiyon:

$$f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$$

Geçtiği nokta $(2, 0.333)$

a) Teğet Doğrusu

Türevi alalım:

$$f'(x) = \frac{(1)(x + 1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$$

$x = 2$ için:

$$f'(2) = \frac{2}{(2 + 1)^2} = \frac{2}{9} \approx 0.222$$

Teğet doğrusunun denklemi:

$$y - 0.333 = \frac{2}{9} (x - 2)$$

b) Normal Doğrusu

Normal eğimi:

$$n = -\frac{1}{f'(2)} = -\frac{1}{\frac{2}{9}} = -\frac{9}{2}$$

Normal doğrusunun denklemi:

$$y - 0.333 = -\frac{9}{2} (x - 2)$$

Sonuç

Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim hızını ve grafiğinin eğimini anlamamızı sağlar. Geometrik yorumuyla, türevin o noktadaki teğet doğrusunun eğimi olduğunu gördük. Teğet ve normal doğrularının denklemlerini bulmak, fonksiyonun türevini kullanarak oldukça basittir. Matematikte bu kavramlar, fonksiyonların analizinde ve grafiklerinin incelenmesinde temel bir rol oynar.